一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；
（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC=
，求tanC的值；
，直
（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC= ， 接写出tan∠CEB的值．
【答案】（1）解：∵AM⊥MN，CN⊥MN， ∴∠AMB=∠BNC=90°， ∴∠BAM+∠ABM=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABM+∠CBN=90°， ∴∠BAM=∠CBN， ∵∠AMB=∠NBC， ∴△ABM∽△BCN
（2）解：如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N.
∵∠BAP+∠1=∠CPM+∠1=90°， ∴∠BAP=∠CPM=∠C， ∴MP=MC ∵tan∠PAC=设MN=2m,PN=
m,
，
根据勾股定理得，PM=∴tanC=
,
（3）解：在Rt△ABC中，sin∠BAC= = ，
过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，
∵∠DEB=90°， ∴CH∥AG∥DE， ∴
=
同（1）的方法得，△ABG∽△BCH ∴
∵AB=AE，AG⊥BE， ∴EG=BG=4m， ∴GH=BG+BH=4m+3n， ∴ ∴n=2m，
∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m， 在Rt△CEH中，tan∠BEC= =
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠AMB=∠BNC=90°，根据同角的余角相等得出∠BAM=∠CBN，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出：△ABM∽△BCN； （2）过点P作PF⊥AP交AC于F，在Rt△AFP中根据正切函数的定义，由
，
，
设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，
tan∠PAC=AB=
a，PQ=2a，BP=
,同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，故,设
b，FQ=2b（a＞0，b＞0），然后判断出△ABP∽△CQF，得
从而表示出CQ，进根据线段的和差表示出BC，再判断出△ABP∽△CBA，得出
再得出BC，从而列出方程，表示出BC,AB，在Rt△ABC中，根据正切函数的定义
得出tanC的值；
（3）在Rt△ABC中，利用正弦函数的定义得出：sin∠BAC=
,过点A作AG⊥BE于
G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，根据平行线分线段成比例定理得出
， 同（1）的方法得，△ABG∽△BCH ，故
， 设BG=4m，
CH=3m，AG=4n，BH=3n，根据等腰三角形的三线合一得出EG=BG=4m，故GH=BG+BH=4m+3n，根据比例式列出方程，求解得出n与m的关系，进而得出EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中根据正切函数的定义得出tan∠BEC的值。
2．如图，在一块长为a(cm)，宽为b(cm)(a>b)的矩形黑板的四周，镶上宽为x(cm)的木板，得到一个新的矩形．
（1）试用含a，b，x的代数式表示新矩形的长和宽；
（2）试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段，并说明理由．
【答案】（1）解：由原矩形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)，木板宽为x(cm)， 可得新矩形的长为(a＋2x)cm，宽为(b＋2x)cm
（2）解：假设两个矩形的长与宽是成比例线段，则有 由比例的基本性质，得ab＋2bx＝ab＋2ax，∴2(a－b)x＝0. ∵a>b， ∴a－b≠0， ∴x＝0， 又∵x>0，
∴原矩形的长、宽与新矩形的长、宽不是比例线段．
【解析】【分析】（1）根据已知，观察图形，可得出新矩形的长和宽。
（2）假设两个矩形的长与宽是成比例线段，列出比例式，再利用比例的性质得出x=0，即可判断。
，
3．在矩形ABCD中，BC＝6，点E是AD边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD.动点M从点E出发沿射线ED运动，过点M作MN∥BD交直线BE于点N.
（1）如图1，当点M在线段ED上时，求证：MN＝
EM；
（2）设MN长为x，以M、N、D为顶点的三角形面积为y，求y关于x的函数关系式； （3）当点M运动到线段ED的中点时，连接NC，过点M作MF⊥NC于F，MF交对角线BD于点G（如图2），求线段MG的长. 【答案】（1）证明：：∵ ∴ ∵ ∴
∵ ∥ , ∴ ∴ ∴ 过点 作
于点 ,则
.
°,
,
°
°,
° ,
在 ∴ ∴
（2）解：在 ∴ ∵
a.当点 在线段 上时，过点 作 在
中， 中，
中，
，
于点 ,
由（1）可知：
,
∴
∴ ∴
于点
b.当点 在线段 延长线上时，过点 作 在
中，
, , ,
在 ∴ ∴
中，
（3）解：连接 ,交 于点 .
∵ 为 的中点 ∴
,
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