湖南省2018年普通高等学校对口招生考试
数 学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。时量120分钟。满分120分
一． 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则( )
A.{1,2,3,4,5,6} B.{2,3,4} C.{3,4} D.{1,2,5,6} 2.“x2?9是x?3的( ) 条件
A.充分必要 B.必要不充分 C.充分不必要 D.既不充分也不必要 3.函数y?x2?2x的单调增区间是( )
A.(??,1] B.[1,??) C. (??,2] D. [0,??)
34.已知cos??? ，且? 为第三象限角，则tan?=( )
54334A. B. C. ? D. ? 34435.不等式|2x?1|?1的解集是( )
A.{x|x?0} B. {x|x?1} C. {x|0?x?1} D. {x|x?0或x?1} 6.点M在直线3x+4y-12=0上，O为坐标原点，则线段OM长度的最小值是( )
1212A.3 B.4 C. D.
5rrrr25rrrr7.已知向量a、b满足|a|?7,|b|?12,agb??42,则向量a、b的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 8.下列命题中，错误的是( ) ．． A.平行于同一个平面的两个平面平行 B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
9．已知a?sin15?,b?sin100?,c?sin200?,则a,b,c的大小关系为( ) A.a?b?c B.a?c?b C.c?b?a D.c?a?b
10.过点（1,1）的直线与圆x2?y2?4相交于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值为( )
A.2 B.4 C.3 D.23 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11.某学校有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该学校学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取男生的人数为______。 12.函数f(x)?cosx?b（b为常数）的部分图像如图所示，则b=______。
13.(x?1)6 的展开式中x5的系数为______（用数字作答）。
rrr14.已知向量a=（1,2），b =（3,4），c =（11,16），且rrrc?xa?yb ，则x+y=______。
15.如图，画一个边长为4的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依次类推，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积为______。
三、解答题（本大题共7小题，其中第21、22小题为选做题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分10分）
已知数列{an}为等差数列，a1?1,a3?5;
⑴求数列{an}的通项公式；
⑵设数列{an}的前n项和Sn，若Sn?100，求n.
17.（本小题满分10分）
某种饮料共6瓶，其中有2瓶不合格，从中随机抽取2瓶检测，用ξ表示取出饮料中不合格的评述，求：
⑴随机变量ξ的分布列；
⑵检测出有不合格饮料的概率。 18. （本小题满分10分）
已知函数f(x)?loga(x?3),(a?0,a?1) 的图像过点（5,1）。 ⑴求f(x)的解析式，并写出f(x)的定义域 ⑵若f(m)?1，求m的取值范围。 19. （本小题满分10分）
AA1?底面ABC，AA1?AB?BC,如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，
∠ABC=90°，D为AC的中点。
⑴证明：BD⊥平面AA1C1C；
⑵求直线BA1与平面AA1C1C所成的角。
20.（本小题满分10分）
x2y2已知椭圆C:2?2?1( a?b?0) 的焦点为F1（-1,0），F2（1,0），点A（0,1）在椭
ab圆C上。
⑴求椭圆C的方程；
⑵直线l过点F1且与AF1垂直，l与椭圆C相交于M,N两点，求MN的长 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答，如果两题都做，则按所做的第21题计分，作答时，请写清题号。 21. （本小题满分10分） 如图，在四边形ABCD中，BC=CD=6，AB=4，∠BCD=120°，∠ABC=75°，求四边形ABCD的面积。
22. （本小题满分10分）
某公司生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲产品可获利4万元，生产1吨乙产品可获利润5万元，问：该公司如何规划生产，才能使公司每天获得的利润最大？
甲 乙 原料限额 A（吨） 1 2 8 B（吨） 3 2 12
参考答案 一、 选择题 题号 1 2 答案 C B 二、 填空题 3 B 4 A 5 D 6 D 1 327 C 8 B 9 D 10 A 11、25 12、2 13、6 14、5 15、三、解答题
16、解：⑴{an}为等差数列，a1?1,a3?5，所以公差d?故an?a1?(n?1)d?1?2(n?1)?2n?1 ⑵因为等差数列{an}的前n项和Sn?a3?a15?1??2 3?12n(a1?an) ,Sn?100，所以有 2n(1?2n?1)?100 ，n?10 217、解：⑴?的可能取值有0，1， 2
201102C4gC2C4gC2C4gC2281,, P(??0)??P(??1)??P(??2)??222C65C615C615故随机变量?的分布列为： ? 0 1 2 281P 51515⑵设事件A表示检测出的全是合格饮料，则A表示检测的有不合格饮料
20C4gC22因为检测出的全是合格饮料的概率P(A)?,所以检测的有不合格饮料的概率为 ?2C6523P(A)?1?P(A)?1??
55loga(5?3)?1，18、解：⑴由f?x??loga(x?3)的图像过(5,1)得：即loga2?1，所以a?2 。
由对数性质知x?3?0,x?3；所以函数f?x??log2(x?3)的定义域为(3,??) 。 ⑵因为f?x??log2(x?3)，f(m)?1,所以log2(m?3)?1 即有：log2(m?3)?log22
所以有0?m?3?2,3?m?5
即m的取值范围是(3,5)。
19、⑴证明：因为在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?底面ABC，
BD?底面ABC，所以AA1?BD
又AB?BC,∠ABC=90°，D为AC的中点 所以BD?AC
又AA1IAC?A ，所以BD⊥平面AA1C1C
⑵因为BD⊥平面AA1C1C，连A1D，则?BA1D是直线BA1与平面 AA1C1C所成的角。 在直角?A1BD中，BD?12AC?AB,A1B?2AB 22所以sin?BA1D?BD1? , ?BA1D?30? A1B2x2y220、解：⑴因为椭圆C:2?2?1(a?b?0)的焦点为F1(-1,0)，F2(1,0),
ab所以c?1
0212又点A(0,1)在椭圆C上,所以2?2?1，即b2?1
aba2?b2?c2?1?1?2
x2?y2?1 故椭圆方程为2⑵因为直线AF1的斜率kAF1?1,直线l过点F1且垂直AF1，所以直线l的斜率k??1
直线l的方程为y??x?1 ?y??x?1?23x?4x?0 由?x2 消去得：y2??y?1?24设M,N坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1?x2??,x1x2?0
34|x2?x1|?(x2?x1)2?4x1x2?
3442|MN|?k2?1?|x2?x1|?2??
3342即MN的长为
321、解：连结BD,
在?BCD中，BC=6，DC=6，?BCD=120?， 由余弦定理得
BD2=BC2+DC2-2BC?DC?cos?BCD 所以
BD2=62+62-2?6?6?cos120? 即BD=63 又由BC=DC=6，?BCD=120?得 ?CDB=?CBD=30? 所以?ABD=45?
s四边形ABCD=s?ABD?s?BCD
11s四边形ABCD=BC?DC?sin?BCD?AB?BD?sin?ABD
2211?s四边形ABCD=?6?6?sin120??4?63?sin?45?
221312s四边形ABCD=?6?6???63?4?
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湖南省普通高等学校对口招生考试数学试卷与答案
