对流扩散方程的全离散Legendre和Chebyshev谱方法
崔鸿玉， 张法勇
【摘 要】摘 要: 用Legendre和Chebyshev谱方法对一维对流扩散方程的初边值问题
【期刊名称】黑龙江大学自然科学学报 【年(卷),期】2024(035)006 【总页数】9
【关键词】关键词: 对流扩散方程； Chebyshev谱方法； Legendre谱方法； 稳定性； 收敛性
进行数值分析，研究全离散的Euler隐格式，证明Euler隐格式的稳定性，得到近似解的收敛性及与精确解之间的误差估计。 投稿网址：http://hdzrxb.cbpt.cnki.net
基金项目: 国家自然科学基金资助项目(10371077)
引文格式: 崔鸿玉， 张法勇. 对流扩散方程的全离散Legendre和Chebyshev谱方法 [J]. 黑龙江大学自然科学学报, 2024, 35(6): 662-670.
is numerically analyzed by using the Legendre and Chebyshev spectral methods. The fully discretized Euler implicit scheme is studied. The stability of the Euler implicit scheme is proved. Finally, the convergence of the approximate solution and the error estimate between the solution and the exact solution are obtained.
0 引 言
记Λ=(-1,1)，J=(0,T]，T是一个给定正数。本文考虑如下的对流扩散方程的初
边值问题 (1)
其中：常数ν>0，b(x),b0(x)∈L(Λ)。方程(1)在许多领域中都有重要应用。Canuto和Quarteroni等[1]研究了上述初边值问题的半离散Legendre和Chebyshev谱方法；Maday等[2]研究了Burgers方程的Legendre和Chebyshev谱方法，给出了L2投影和投影误差估计；Canuto等[3]讨论了双曲方程的谱逼近；Funaro和Pasciak等 [4-5]研究了高维的输运方程和一维的输运方程的谱逼近。在大气环流问题中，谱方法有卓越的性能[6]。在数值涡流的问题中，可以应用谱方法计算直槽道内流体的流动，计算得到的层流效果和湍流效果与理论效果符合较好[7]。在解决延迟微分方程问题中，应用谱方法可以得到良好的谱精度和收敛结果[8-10]。
本文研究方程(1)全离散Legendre和Chebyshev谱方法。设ω(x)是区间Λ上的一个权函数，定义 是可测的,且 (φ,φ)ω<+},
其中 φ(x)ψ(x)ω(x)dx为上的内积，为的范数。对于非负整数k，有 0 m k},
为带有权函数ω(x)的k阶Sobolev空间，带有范数 和半范数
对于非负实数s，本文用插值的方法定义Sobolev空间记
本文考虑两种不同的权函数，即Legendre权函数ω(x)=1和Chebyshev权函数对于方程中的变系数b(x)和b0(x)，本文总是假设 (2)
条件(2)不是一个很强的限制性条件，因此可以作未知函数的变量替换v(x)=eλxu(x)(λ>0)，变换后使方程中的b0(x)项变得充分大，当λ充分大时。 设N为一正整数，VN为次数不超过N的代数多项式的全体，记 引理1 [2] 定义在和上的双线性泛函 aω(u,v)= ux(vω)xdx 具有如下性质： 1. 有界性
|aω(u,v)||u|1,ω|υ|1,ω, ? (3) 2. 正定性 aω(u,v)≥? (4)
上的正交投影算子记为它满足 : ?φ∈VN
引理2 [1] 对于σ≥0，u∈Hσ,ω(Λ)，存在与N和u无关的正常数C，使得 CN-σ‖u‖σ,ω。
定义投影算子 ∏N ： V→VN，使得 u,φ)=0, ?φ∈VN
引理3 [1] 设≥1，则存在与N和u无关的正常数C，使得 ‖u-ΠNu‖μ,ω CNμ-σ‖u‖σ,ω , 0 μ1。
引理4 (Gr?nwall不等式) 假设离散函数yn满足
对流扩散方程的全离散Legendre和Chebyshev谱方法
