而停止.如果路面相同,但有1∶15的下降坡度,那么这辆汽车若仍以原有速度运行,则刹车后经多少距离而停止。
解: v?108km?h?1?36m?s?1
在水平的直路上刹车,摩擦力
f??mg
刹车距离
v2v2 S? ?2a2?g在斜坡上,对汽车有
??mgsi?n? ?mgcos由此得
? amv2cos??gsin? a???gcos??gsin??2S刹车距离
v2v2?2?36.9m S???2avcos??2gsin?S2-12. 如题图2-12所示,已知两物体A、B的质量均为m?3.0kg,物体A以加速度1.0m?s?2运动,求物体B与桌面间的摩擦力。(滑轮与绳子的质量不计)
解:受力分析如解图2-12所示,以A为研究对象,其中FL、
FR分别为滑轮左右两边绳子的拉力。有
mAg?FL?FR?mAaA
且 FL?FR 以B为研究对象,在水平方向上,有
??f?mBaB FL又
FL??FL,aB?2aA, mA?mB?m?3kg 联立以上各式,可解得
aA?1.0m?s?2
?FR ?FL
题图2-12
?N ?f ?mAg
(a)
解图2-12
?FL?
mg?2maB?maAf??7.2N
2
2-13.一质量为m的小球最初位于如题图2-13所示的A点,用力.
?mBg (b)
然后沿半径为r的光滑圆轨道ADCB下滑,试求小球到达C点时的角速度和对圆轨道的作
解:小球下滑过程机械能守恒
mgrcos??又
1mv2…………① 2 v???r,此时,v??r………② 由①、②可得
法向
???题图2-13
??2gcos? rv2 N?mgcos??m……③
r由①、③可得
N=3mgcos?
解图2-13
2-14 摩托快艇以速率v0行驶,它受到的摩擦阻力与速率平方成正比,可表示为F= ?kv2(k为正常数)。设摩托快艇的质量为m,当摩托快艇发动机关闭后, (1) 求速率v随时间t的变化规律。 (2) 求速度v与路程x之间的关系。
解 (1) 由牛顿第二定律F=ma得
dv ?kv2?ma?m ①
dt分离变量并积分,有
?0?tkvdvdt??v2
0mv11k??t vv0m(2) 将dv?dv?dx=vdv 代入①式中得
dtdtdxdx?kv2?mvdv ② dx分离变量并积分,有
?0?ln得
xkvdv dx??v0mvvk??x v0mkxm
v?v0e?
2-15.如题图2-15所示,A为定滑轮,B为动滑轮,三个物体的质量分别为m1?200g,m2?100g,m3?50g. (1)求每个物体的加速度
(2)求两根绳中的张力FT1和FT2(滑轮和绳子质量不计,绳子的伸长和摩擦力可略)。
解:如解图2-15(a)、(b)、(c),分别是m1、m2、m3的受力图。
设a1、a2、a3、aB分别是m1、m2、m3、B对地的加速度;a2B、a3B分别是m2、m3对B的加速度,以向上为正方向,可分别得出下列各式
题图2-15
?m1g?T1'?m1a1…………… ①
?m2g?T2'?m2a2………… ②
?m3g?T2?m3a3………… ③
又:
a2?aB?a2Ba3?aB?a3B且
解图2-15
a2B??a3B
则a2?a3?2aB,且aB??a1,则
a2?a3??2a1
又
…………④
T1'?T1?T2?T2' T2'?T2
则由①②③④⑤⑥,可得
…………⑤ …………⑥
?4m2?3m1g?2a?g????1.96(m?s)?13m1?4m25??4m2?m1gg????1.96(m?s?2) ?a2??3m1?4m25??5m?4m23gg??5.88(m?s?2)?a3?13m1?4m25?(2)将a3的值代入③式,可得
T2?8m1m2g?0.784N
3m1?4m2T1?2T2?1.57N
2-16.桌面上有一质量M?1.50kg的板,板上放一质量为m?2.45kg的另一物体,设物体与板、板与桌面之间的摩擦系数均为0.25. 要将板
解图2-16
从物体下面抽出,至少需要多大的水平力?
解:由牛顿第二定律得
aM?F?f1?f2
M如题图2-16(c),以m为研究对象,N1',f1'分别为M给m的支持力、摩擦力。则有
f1'am?
m又因为
f1?f1'??N1'??N??mg,则aM?am可化为
f2??N2???m?M?g
F??(M?m)g??mg?mg?
Mm解出
Fmin?2?(m?M)g?19.4(N)2-17.已知一个倾斜度可以变化但底边长L不变的斜面:
(1)求石块从斜面顶端无初速地滑到底所需时间与斜面倾角α之间的关系,设石块与斜面间的滑动摩擦系数为?;
00(2)若斜面倾角为60和45时石块下滑的时间相同,问滑动摩擦系数?为多大?
解:(1)石块其沿斜面向下的加速度为
a?又
mgsina??mgcosa?gsina??gcosa
ms?L1?at2,则: cosa2t?2L gcosa(sina??cosa)解图2-17
(2)当??60?时
t1?当??45?时
2L,
gcos60?(sin60???cos60?)2L gcos45?(sin45???cos45?)t2?根据题意
t1?t2
解出
??0.27
2-18,如题图2-18所示,用一穿过光滑桌面上小孔的轻绳,将放在桌面上的质点m与悬挂着的质点M连接起来,m在桌面上作匀速率圆周运动,问m在桌面上圆周运动的速率v和圆周半径r满足什么关系时,才能使M静止不动?
解:如题图2-18,以M为研究对象,有
Mg?T'………………①
以m为研究对象,水平方向上,有
题图2-18
v2T?man?m……②
r又有
T'?T………………③ 由①、②、③可得
v2Mg? rm
2-19.一质量为0.15kg的棒球以v0?40m?s-1的水平速度飞来,被棒打击后,速度仍沿水平方向,但与原来方向成1350角,大小为v?50m?s。如果棒与球的接触时间为0.02s,求棒对球的平均打击力大小及方向。
解:在初速度方向上,由动量定理有
?F1?t?mvcos135??mv0
在和初速度垂直的方向上,由动量定理有
①
-1F2?t?mvcos45? ②
平均打击力
F?F12?F22 ③
由①②③带入数据得
F?624N
F与原方向成
arctan???F2????155? ?F1??2-20. 高空作业时系安全带是非常必要的。假如一质量为51.0kg的人,在操作时不慎从高空
竖直跌落下来,由于安全带的保护,最终使他被悬挂起来。已知此人竖直跌落的距离为2.0m,安全带弹性缓冲作用时间为0.50s。求安全带对人的平均冲力。
解 以人为研究对象,按分析中的两个阶段进行讨论。在自由落体过程中,人跌落2.0m时的速度为
v1?2gh
新编基础物理学第二版第二章习题解答
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