第8节 函数与方程
考试要求 1.了解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的联系；2.掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.
知 识 梳 理
1.函数的零点 (1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点. (3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在
(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根. 2.二次函数y＝ax＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
2
Δ＝b2－4ac 二次函数 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 零点个数 [常用结论与易错提醒]
1.不满足零点存在性定理也可能有零点(如不变号零点).
2.由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示.所以f(a)·f(b)＜0是图象连续的函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3.若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0?函数f(x)在[a，b]上只有一个零点.
(x1，0)，(x2，0) 2 (x1，0) 1 无交点 0
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).( )
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)?D内有零点，则f(a)·f(b)<0.( ) (3)若连续函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.( )
(4)f(x)＝x，g(x)＝2，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x) (2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.下列函数中既是偶函数又存在零点的是( ) A.y＝cos x C.y＝ln x B.y＝sin x D.y＝x＋1 2 2 x解析 由函数是偶函数，排除选项B，C，又选项D中函数没有零点，排除D，y＝cos x为偶函数且有零点. 答案 A 3.(必修1P88例1改编)函数f(x)＝e＋3x的零点个数是( ) A.0 C.2 B.1 D.3 x1x解析 由f′(x)＝e＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0， e因此函数f(x)有且只有一个零点. 答案 B 4.(2019·北京东城区期末)下列函数中是奇函数且存在零点的是( ) A.y＝x＋x C.y＝2x－3 3 23 B.y＝log2x 2D.y＝ x解析 对于A：y＝x＋x为奇函数，且存在零点为x＝0，与题意相符； 对于B：y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符； 对于C：y＝2x－3为偶函数，与题意不符； 2 2 对于D：y＝不存在零点，与题意不符，故选A. x答案 A 5.函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________. 解析 因为函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上是单调函数，所以若f(x)在区间(－1，1 1)上存在一个零点，则满足f(－1)·f(1)＜0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，解得 3 ?1?答案 ?，1? ?3? ?x，x<0，? 6.已知f(x)＝?x则f(f(－2))＝________；函数f(x)的零点的个数为________. ?2－2，x≥0，? 2 解析 根据题意得：f(－2)＝(－2)＝4，则f(f(－2))＝f(4)＝2－2＝16－2＝14；令f(x)＝0，得到2－2＝0(x≥0)，解得：x＝1，则函数f(x)的零点个数为1. 答案 14 1 考点一 函数零点所在区间的判断 【例1】 (1)若a B.(－∞，a)和(a，b)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内 x24 (2)(一题多解)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A.(0，1) C.(2，3) B.(1，2) D.(3，4) 解析 (1)∵a f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0， 由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A. (2)法一 函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下： 可知f(x)的零点所在的区间为(1，2). 法二 易知f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上为增函数， 且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0. 所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点. 答案 (1)A (2)B 规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 4x【训练1】 (1)函数f(x)＝－2的零点所在区间是( ) x?1?A.?0，? ?2??3?C.?1，? ?2? ?1?(2)已知函数f(x)＝ln x－???2? A.(0，1) C.(2，3) x－2 ?1?B.?，1? ?2??3?D.?，2? ?2? 的零点为x0，则x0所在的区间是( ) B.(1，2) D.(3，4) 3??解析 (1)f(x)的图象在(0，＋∞)上连续，又f(x)在(0，＋∞)上递减，且f(1)＝2＞0，f???2?838－62＝－2＝＜0.∴选C. 323 ?1?(2)∵f(x)＝ln x－?? ?2? －1 x－2 在(0，＋∞)上是增函数， ?1?又f(1)＝ln 1－??＝ln 1－2<0， ?2? f(2)＝ln 2－??＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0. 2 故f(x)的零点x0∈(2，3). ?1??? 0 12 答案 (1)C (2)C 考点二 函数零点(或方程根)个数的判断 ?3??|ln（x－1）|，x>1，?【例2】 (1)已知函数f(x)＝?x－1则方程f(f(x))－2?f（x）＋?＝0的实 4???2＋1，x≤1，? 根个数为( ) A.3 C.5 xB.4 D.6 (2)函数f(x)＝2|log0.5x|－1的零点个数为________. 3?3?解析 (1)令t＝f(x)，则方程f(f(x))－2?f（x）＋?＝0等价于f(t)－2t－＝0.在同一平 4?2?3 面直角坐标系中作出函数y＝f(x)与直线y＝2x＋的图象，由图象可得有两个交点，且f(t) 23 －2t－＝0的两根分别为t1＝0和1 23??2)时，方程f(x)＝t2有3个不等实根.综上所述，方程f(f(x))－2?f（x）＋?＝0的实根个4??数为4，故选B. ?1?(2)令f(x)＝2|log0，5x|－1＝0，得|log0.5x|＝??. ?2? xx?1?设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝??，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象(如图).由?2? 图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f(x)有2个零点. x 答案 (1)B (2)2 规律方法 函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合
浙江省2021届高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第8节函数与方程含解析
