立体几何的动态问题之二
———翻折问题
立体几何动态问题的基本类型:
点动问题;线动问题;面动问题;体动问题;多动问题等
一、面动问题(翻折问题):
(一)学生用草稿纸演示翻折过程: (二)翻折问题的一线五结论
一线:垂直于折痕的线即DF?AE.
五结论:
1)折线同侧的几何量和位置关系保持不变;
折线两侧的几何量和位置关系发生改变; 2)?D?HF是二面角D?-H-F的平面角;
3)D?在底面上的投影一定射线DF上; '为半径的圆; 4) 点D'的轨迹是以H为圆心,DH 5)面AD'E绕AE翻折形成两个同底的圆锥.二、翻折问题题目呈现:
(一)翻折过程中的范围与最值问题
1、(2016年联考试题)平面四边形ABCD中,AD=AB=2,CD=CB= 5,且AD?AB,现将△ABD沿对角线BD翻折成?A'BD,则在?A'BD折起至转到平面BCD的过程中,直线
A'C与平面BCD所成最大角的正切值为_______ .
DAB
解:由题意知点A运动的轨迹是以E为圆心,EA为半径的圆,当点A
ACEBDCA运动到与圆相切的时候所称的角最大,所以tan?A'CB?3。 3EC【设计意图】加强对一线、五结论的应用,重点对学生容易犯的错误
1进行分析,找出错误的原因。 22、2015年10月浙江省学业水平考试18).如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,线段AD,BD的中点分别为E,F。现将△ABD沿对角线BD翻折,则异面直线BE与CF所成角的取值范围是
..
A.(?,?) B. (?,?] 6362
C. (?,?] 32D. (?,2?) 33
分析:这是一道非常经典的学考试题,本题的解法非常多,很好的考查了空间立体几何线线角的求法。
方法一:特殊值法(可过F作FH平行BE,找两个极端情形) 方法二:定义法:利用余弦定理:
AEHDFCFH2?FC2?CH254321cos?FHC???CH2,有?CH?
442FHFC43B?11??cos?CFH???,?异面直线BE与CF所成角的取值范围是(?,?]32 ?22?方法三:向量基底法:
111BEFC?(BA?BD)FC?BAFC?(BF?FA)FC222
cos?BE,FC??方法四:建系:
3、(2015年浙江·理8)如图,已知?ABC,D是AB的中点,沿直线CD将?ACD折成
1?11?cos?FC,FA????,? 2?22??A?CD,所成二面角A??CD?B的平面角为?,则 ( B )
A. ?A?DB?? B. ?A?DB??C. ?A?CB?? D. ?A?CB??
方法一:特殊值
方法二:定义法作出二面角,在进行比较。
方法三:抓住问题的本质,借助圆锥利用几何解题。
4、(14年1月浙江省学业学考试题)如图在Rt△ABC中,AC=1,BC=x,D是斜边AB的中点,将△BCD沿直线CD翻折,若在翻折过程中存在某
..
个位置,使得CB⊥AD,则x的取值范围是( A )
?2?
,2? C.(3,2 3] D.(2,4] ?2?
方法一:利用特殊确定极端值
方法二:在?DAB中利用余弦定理转化为?BDA的函数求解。
方法三:取BC的中点E,连接EA,ED在?DEA中利用两边之和大于第三边求解。
(二)翻折之后的求值问题
A.(0,3] B.?
5、(2016届丽水一模13)已知正方形ABCD,E是边AB的中点,将△ADE沿DE折起至如图所示,若A?CD为正三角形,则EDA?DE,
与平面A?DC所成角的余弦值是
6、(2016届温州一模8)如图,在矩形ABCD中,
25 5AB?2,AD?4,点E在线段AD上且AE?3,现分别沿BE,CE将?ABE,?DCE翻折,
使得点D落在线段AE上,则此时二面角D?EC?B的余弦值为 ( D ) A.
..
4567 B. C. D. 5678AEDADE?BCBC
立体几何动态问题翻折问题
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