第一章实数集与函数
第 八 章 不 定 积 分
§1 不定积分概念与基本积分公式
正如加法有其逆运算减法 , 乘法有其逆运算除法一样 , 微分法也有它的逆运 算———积分法 .我们已经知道 , 微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它 的导函数 , 那么与之相反的问题是 : 求一 个未 知函 数 , 使其导 函数 恰好是 某一 已 知函数 .提出这个逆问题 , 首先是因为它出现在许多实际问题之中 .例如 : 已知速 度求路程 ; 已知加速度求速度 ; 已知曲线 上每一 点处 的切线 斜率 ( 或斜率 所满 足 的某一规律 ) , 求曲线方程等等 .本章与 其后两 章 ( 定 积分与 定积 分的 应用 ) 构 成 一元函数积分学 .
一 原函数与不定积分
定义 1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义 .若
F′( x ) = f ( x) , x ∈ I ,
则称 F 为 f 在区间 I 上的一个原函数 .
例1如 , 3 1 -
3 2 x是 x在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的一个 原函数 , x)′= x; 1
因为 ( 又 如
3 2
3
1
cos 2 cos 2 x + 1 都是 sin 2 x 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的原函2 2 x 与 - 数 , 因为
1 1
( - cos 2 x )′= ( - cos 2 x + 1)′= sin 2 x .
2 2
如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话 , 那么
1
F( x ) = xarctan x - ln(1 + x2 )
2
是 f ( x) = arctan x 的一个原函数 , 就不那样明显了 .事实上 , 研究原
1 . 满足何种条件的函数必定存在原函数 ? 如果存在 , 是否唯一 ? 2 . 若已知某个函数的原函数存在 , 又怎样把它求出来 ? 关于第一个问题 , 我们用下面两 个定 理来回 答 ; 至于 第二 个问题 , 其 解答
函数必须 解 决下面两个重要问题 :
则 是本章接着要介绍的各种积分方法 .
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第一章实数集与函数
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第八章 不 定 积 分
定理 8 .1 若函数 f 在区间 I 上连续 , 则 f 在 I 上存在原函数 F , 即 F′( x)
= f ( x) , x∈ I .
本定理要到第九章§5 中才能获得证明 .
由于初等函数为连续函数 , 因此每个初等函数都有原函数 ( 只是初等函数的 原函数不一定仍是初等函数 ) .当然 , 一个函数如果存在间断点 , 那么此函数在其 间断点所在的区间上就不一定存在原函数 ( 参见本节习题第 4 题 ) .
定理 8 .2 设 F 是 f 在区间 I 上的一个原函数 , 则
( i) F + C 也是 f 在 I 上的原函数 , 其中 C 为任意常量函数① ; ( ii) f 在 I 上的任意两个原函数之间 , 只可能相差一个常数 . 证 ( i) 这是因为 [ F( x ) + C]′= F′( x ) = f ( x ) , x∈ I .
( ii) 设 F 和 G 是 f 在 I 上的任意两个原函数 , 则有
[ F( x ) - G( x ) ]′= F′( x) - G′( x)
= f ( x ) - f ( x ) = 0 , x ∈ I .
根据第六章拉格朗日中值定理的推论 , 知道
F( x ) - G( x) ≡ C, x ∈ I .
定义 2 函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为 f 在 I 上的不定积分 , 记作
∫f ( x ) d x , 其中称
( 1)
∫
②
为积分号 , f ( x ) 为被积函数 , f ( x) d x 为被 积表达式 , x 为积 分变量 . 尽管记号 (1 ) 中各 个部 分都 有其 特定 的 名称 , 但 在使 用时
必 须 把它 们 看作 一 整 体 .
由定义 2 可见 , 不定积分 与原 函数 是总 体 与个 体的 关系 , 即若 F 是 f 的 一 个原函数 , 则 f 的不定积分是一个函数族 { F + C} , 其中 C 是 任意常 数 .为方 便 起见 , 写作
∫f ( x) d x = F( x ) + C . 这时又称 C 为积分常数 , 它可取任一实数值 .于是又有
( 2)
∫f ( x) d x ′= [ F( x ) + C]′= ( x ) ,
f ( 3)
f ( x ) d x = d[ F( x) f ( x) d x . ( 4)
d ∫
+ C] =
按照写法 (2 ) , 本节开头所举的几个例子可写作
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第一章实数集与函数
①
这里 既把 C 看 作常量 函数 , 又 把它作 为该 常量 函数 的 函数 值 .在 不 致混 淆 时 , 以 后 常 说“ C 为 任 意常数”.
不 久可看 到 , 被积 表达式 可认 同为 f 的原函 数 F 的微分 , 即 d F = F′( x ) d x = f ( x ) d x .
②
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数学分析第八章不定积分
