（3）
nkX(k)??anWNn?0N?11?aNWNNk1?aN??,0?k?N?1 kk1?aWN1?aWNN?1 （4）
2?2?2?nkj?nmj?nmj??12?nkNNN?eX(k)??cos(nm)WN???e?e2n?0?Nn?0?N?1?j2?(k?m)??j2?(k?m)e?1e?11?????2??j(k?m)?2??j2N?(k?m)1?eN??1?eN?1N?1???j?(k?m)j?(k?m)?j?(k?m)j?(k?m)?)m?k(j??)m?k(j??ee?e1?eNN?e?e?????j(k?m)j(k?m)?j(k?m)(k?m)?2?j?NNNN?ee?e??e N?1N?1???m?ksin?m?ksin?????)m?k(j??)m?k(j????N???N1????e?e???2?sin?????k?m??/N????k?m??/N???sin???N,k?m或k??m20,其他3.7 图P3.7表示的是一个有限长序列x(n),画出x1(n)和x2(n)的图形。 （1）x1(n)?x???n?2???R4(n)
4（2）x2(n)?x???2?n???R4(n)
4
解：x1(n)和x2(n)的图形如图P3.7_1所示：
6
3.8 图P3.8表示一个4点序列x(n)。
（1）绘出x(n)与x(n)的线性卷积结果的图形。
（2）绘出x(n)与x(n)的4点循环卷积结果的图形。
（3）绘出x(n)与x(n)的8点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷
积之间的关系。
解：（1）图P3.8_1（1）所示的是x(n)与x(n)的线性卷积结果的图形。 （2）图P3.8_1（2）所示的x(n)与x(n)的4点循环卷积结果的图形。 （3）图P3.8_1（3）所示的x(n)与x(n)的8点循环卷积结果的图形。
可以看出，x(n)与x(n)的8点循环卷积结果的图形与（1）中x(n)与x(n)的线性卷积结果
的图形相同。
7
3.9 x(n)是一个长度为N的序列，试证明x[(?n)]N?x[(N?n)]N。
证明：因为x[(?n)]N是由x(n)周期性重复得到的周期序列，故可表示为x[(?n)]N?x[(?n?rN)]N 取r＝1，上式即为x[(?n)]N?x[(N?n)]N。
3.10 已知序列x(n)?au(n),0?a?1。现在对其Z变换在单位圆上进行N等分取样，取值为
nX(k)?X(z)|z?W?k，求有限长序列的IDFT。
N 解：在z平面的单位圆上的N个等角点上，对z变换进行取样，将导致相应时间序列的周期延拓，延
拓周期为N，即所求有限长序列的IDFT为 xp(n)?r????x(n?rN)??ar?????n?rNanu(n?rN)?,n?0,1,...,N?1 N1?a3.11 若长为N的有限长序列x(n)是矩阵序列x(n)?RN(n)。 （1）求?[x(n)]，并画出及其-零点分布图。
（2）求频谱X(e)，并画出幅度|X(e)|的函数曲线。 （3）求x(n)的DFT的闭式表示，并与X(e)对照。 解：（1）
j?j?j? 8
X(z)?n????R?N(n)z?n??zn?0N?1N?1?n1?z?N?1?z?1?kNN?1?kNN?1j2?kN?(z?W)?(z?W)?(z?ezN?1k?0?N?1?N?1?k?1N?1?k?1N?1z(z?1)z(z?1)zz 极点：z0?0(N?1阶)；零点：zpk?e 图P3.11_1(1)是极-零点分布图。
j2?kN)
,k?1,2,...,N?1
1?e?j?Ne(e?eX(e)?X(z)|?? （2）111z?ej??j?j??j?1?e?j?e2(e2?e2)j??jN?2jN?2?jN?2?N?sin???N?1)2??j2???esin?2
?N?sin????2?,?(?)??N?1?j? |X(e)|?
?2sin2 图P3.11_1(2)所示的是频谱幅度|X(e)|的函数曲线。
j?（3）
X(k)??RN(n)Wn?0N?1nkN1?WNNk1?e?j2?kj?N,k?0???X(e)??2?0,k?1,2,...,N?12?k??k?jk1?WNN1?eN2?(k?0,1,2,...,N?1)上的取样值。 N
可见，X(k)等于X(e)在N个等隔频率点??j?
3.12 在图P3.12中画出了有限长序列x(n)，试画出序列x[(?n)]4的略图。
9
解：
3.13 有限长序列的离散傅里叶变换相当与其Z变换在单位圆上的取样。例如10点序列x(n)的离散傅里叶
变换相当与X(z)在单位圆10个等分点上的取样，如图P3.13（a）所示。为求出图P3.13（b）所示圆周上X(z)的等间隔取样，即X(z)在z?0.5ej[(2?k/10)?(?/10)]各点上的取样，试指出如何修改x(n)，
才能得到序列x1(n)，使其傅里叶变换相当于上述Z变换的取样。
解：X1(k)??x1(n)en?09?j2?nk10?X(z)z?0.5exp?j?2?k??????x(n)(0.5)?ne??10???10???n?09?j?10n?je2?nk10
由上式得到x1(n)?(0.5)e?n?j?10nx(n)
3.14 如果一台通用计算机计算一次复数乘法需要100?s，计算一次复数加法需要20?s，现在用它来计算N＝1024点的DFT，问直接计算DFT和用FFT计算DFT各需要多少时间？ 解：直接计算DFT：
1048576?100?s?105s 复数乘法：N?1024?1048576次， 复数加法：N(N?1)?1024?1023?1047552次,1047552?20?s?21s 总计需要时间：(105?21)s?126s
10
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（完整版）第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
