第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
%%(k)。 3.1 图P3.1所示的序列x(n)是周期为4的周期性序列。请确定其傅里叶级数的系数X
nknk%%%X(k)?x(n)W?x(?n)W??NN?解：
n?0n?0N?1N?1?(N?1)?n?0*%%%x(n)WN?nk?X(?k)?X(k)
%%%%(k)?X*(?k)。 (k)是共轭对称的，即X3.2 （1）设x(n)为实周期序列，证明x(n)的傅里叶级数X%%(k)也是实偶函数。 （2）证明当x(n)为实偶函数时，X证明：（1）
?nk%%X(?k)??x(n)WNn?0N?1%(?k)?[?x%X(n)W*n?0N?1?nk*N%]??x(n)Wn?0N?1nkN%?X(k)
%（2）因x(n)为实函数，故由（1）知有 %%(k)?X*(?k)或X(?k)?X*(k) X%%% 又因x(n)?x(?n)，所以有 (n)为偶函数，即x
%%%X(k)??x(n)WNnk??x(?n)WNnk?n?0n?0N?1N?1?(N?1)?n?0*%%%x(n)WN?nk?X(?k)?X(k)
%3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号x(n)。利用DFS的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级
%(k)，确定以下式子是否正确。 数的系数X%%(k)?X(k?10)，对于所有的k； （1）X%%(k)?X(?k)，对于所有的k； （2）X%(0)?0； （3）X
1
jk%（4）X(k)e5，对所有的k是实函数。
2?
%%(k)也是一个周期为N＝10的周期序列。解：（1）正确。因为x (n)一个周期为N＝10的周期序列，故X%%(k)是共轭对称的，即应有（2）不正确。因为x(n)一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，X%%X(k)?X*(?k)，这里X(k)不一定是实数序列。
%（3）正确。因为x(n)在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等，所以有
%%X(0)??x(n)?0
n?0N?1%(k)e（4）不正确。根据周期序列的移位性质，Xjk2?5%%(k)W10对应与周期序列x＝X(n?2)，如图
?2k%(k)eP3.3_1所示，它不是实偶序列。由题3.2中的（2）知道，Xjk2?5不是实偶序列。
%(n)?3.4 设x(n)?R3(n)，xN?1n?0r???%%%(k)，并作图表示x(k)。 (n)和X?x(n?6r)，求X5?解： X(k)?%%(n)W?xnkN%??x(n)Wn?0nk6??Wn?02nk61?W63k1?e?j?k1?(?1)k?????k?jk?jk1?W61?e31?e3
2
%(0)?1X%%(4)?0(2)?XX2?1?j3 1?(1?j3)/22%?1X(3)?1?e?j?%(1)?X%(5)?X2?1?j31?(1?j3)%%(k)的图形如图3.4_1所示： x(n)和X
%%3.5 在图P3.5中表示了两个周期序列x1(n)和x2(n)，两者的周期都为6，计算这两个序列的周期卷积
%x3(n)，并图表示。
3
%%%解：图P3.5_1所示的是计算这两个序列的周期卷积x可以看出，x3(n)的过程，3(n)是x1(n)延时1的结果，
%%即x3(n)?x1(n?1)。
4
3.5 计算下列序列的N点DFT：
(1)x(n)??(n)
(2)x(n)??[(n?n0)]N*RN(n),0?n0?N (3)x(n)?a,0?n?N?1 (4)x(n)?cos(n2?nm),0?n?N?1,o?m?N Nnk???(n)WN??(0)?1,0?k?N?1 n?0N?1n?0N?1解：（1）X(k) （2）X(k)?nknk?[(n?n)]R(n)W?W?0NNNN,0?k?N?1
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