精品精品资料精品精品资料1.2.3 导数的四则运算法则
1．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)
2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点) 3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 导数的运算法则
阅读教材P19～P20“例1”以上部分内容，完成下列问题． 1．和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝______________. 2．积的导数
(1)[f(x)g(x)]′＝____________； (2)[cf(x)]′＝______________. 3．商的导数
?f?x????′＝____________. ?g?x??
【答案】 1.f′(x)±g′(x) 2.(1)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) (2)cf′(x) 3.
g?x?f′?x?－f?x?g′?x?
，g(x)≠0
g?x?2
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.( )
(2)已知函数y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．( ) (3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1.( ) 【解析】 (1)由f′(x)＝2x，则f(x)＝x2＋c. (2)由y＝2sin x－cos x，则y′＝(2sin x)′－(cos x)′ ＝2cos x＋sin x.
(3)由f(x)＝(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2， 所以f′(x)＝2x＋3.
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
教材整理2 复合函数的概念及求导法则 阅读教材P20“例5”右边部分，完成下列问题．
复合函 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，数的概 y可以表示成__________，那么称这个函数为函数y＝f(u)念 和u＝g(x)的复合函数，记作________． 复合函 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的数的求 dy关系为dx＝__________，即y对x的导数等于__________. 导法则 dydu【答案】 x的函数 y＝f(g(x)) du·dx y对u的导数与u对x的导数的乘积
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．( ) (2)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．( ) 【答案】 (1)√ (2)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：
解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3：
[小组合作型] 求下列函数的导数． (1)y＝x－2＋x2； (2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝
ln x
； x2＋1
2
导数四则运算法则的应用 xx
(4)y＝x－sin 2cos2.
【自主解答】 (1)y′＝2x－2x－3. (2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. x2＋1－2x2·ln x(3)y′＝. x?x2＋1?2xx1
(4)∵y＝x2－sin2cos2＝x2－2sin x， 1
∴y′＝2x－2cos x.
1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．
2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
[再练一题]
5?sin θ3cos θ?
1．(1)设函数f(x)＝3x3＋2x2＋tan θ，其中θ∈?0，12π?，则导数f′(1)
??的取值范围是( )
A．[－2,2] C．[3，2]
B．[2，3] D．[2，2]
ex
(2)已知f(x)＝x，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________. 【解析】 (1)f′(x)＝sin θ·x2＋3cos θ·x， ?π?∴f′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin?θ＋3?，
??5????π??2
0，πθ＋??????， ∵θ∈，∴sin∈，112???3??2??π?∴2sin?θ＋3?∈[2，2]．
???ex?′x－ex·x′(2)∵f′(x)＝
x2ex?x－1?
＝x2(x≠0)． ∴由f′(x0)＋f(x0)＝0，得 ex0?x0－1?ex0＋x＝0， 2x001解得x0＝2. 1
【答案】 (1)D (2)2 求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1；(2)y＝
1
；
?2x－1?3复合函数的导数 (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.
【精彩点拨】 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导． 【自主解答】 (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)函数y＝
1－3
和u＝2x－1的复合函数， 3可看作函数y＝u?2x－1?
∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4 ＝－6(2x－1)－4＝－
6
. ?2x－1?4(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数， －55
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝uln 2＝. ?x－1?ln 2
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数．
∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u2·cos x＋3cos v ＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
1．解答此类问题常犯两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤
[再练一题]
2．求下列函数的导数． (1)y＝
x
；
1－1－x
(2)y＝log2(2x2－1)． 【解】 (1)y＝
x
1－1－x
[最新]高中数学人教B版选修2-2学案：1.2.3 导数的四则运算法则 Word版含解析
