柳州数学圆 几何综合单元测试卷（含答案解析）
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．已知：四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，DE⊥AB，垂足为点E，DE的锯长线交⊙O于点F，DC的延长线与FB的延长线交于点G． （1）如图1，求证：GD＝GF；
（2）如图2，过点B作BH⊥AD，垂足为点M，B交DF于点P，连接OG，若点P在线段OG上，且PB＝PH，求∠ADF的大小；
（3）如图3，在（2）的条件下，点M是PH的中点，点K在BC上，连接DK，PC，D交PC点N，连接MN，若AB＝122，HM+CN＝MN，求DK的长．
【答案】（1）见解析；（2）∠ADF＝45°；（3）【解析】 【分析】
1810． 5（1）利用“同圆中，同弧所对的圆周角相等”可得∠A＝∠GFD，由“等角的余角相等”可得∠A＝∠GDF，等量代换得∠GDF＝∠GFD，根据“三角形中，等角对等边”得GD＝GF； （2）连接OD、OF，由△DPH≌△FPB可得：∠GBH＝90°，由四边形内角和为360°可得：∠G＝90°，即可得：∠ADF＝45°；
（3）由等腰直角三角形可得AH＝BH＝12，DF＝AB＝12
，由四边形ABCD内接于⊙O，
可得：∠BCG＝45°＝∠CBG，GC＝GB，可证四边形CDHP是矩形，令CN＝m，利用勾股定理可求得m＝2，过点N作NS⊥DP于S，连接AF，FK，过点F作FQ⊥AD于点Q，过点F作FR⊥DK交DK的延长线于点R，通过构造直角三角形，应用解直角三角形方法球得DK． 【详解】
解：（1）证明：∵DE⊥AB ∴∠BED＝90° ∴∠A+∠ADE＝90° ∵∠ADC＝90° ∴∠GDF+∠ADE＝90° ∴∠A＝∠GDF ∵BD?BD ∴∠A＝∠GFD
∴∠GDF＝∠GFD ∴GD＝GF （2）连接OD、OF ∵OD＝OF，GD＝GF ∴OG⊥DF，PD＝PF 在△DPH和△FPB中
?PD?PF???DPH??FPB ?PH?PB?∴△DPH≌△FPB（SAS） ∴∠FBP＝∠DHP＝90° ∴∠GBH＝90°
∴∠DGF＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90° ∴∠GDF＝∠DFG＝45° ∴∠ADF＝45°
（3）在Rt△ABH中，∵∠BAH＝45°，AB＝122 ∴AH＝BH＝12 ∴PH＝PB＝6 ∵∠HDP＝∠HPD＝45° ∴DH＝PH＝6
∴AD＝12+6＝18，PN＝HM＝∵∠BFE＝∠EBF＝45° ∴EF＝BE
∵∠DAE＝∠ADE＝45° ∴DE＝AE ∴DF＝AB＝122 ∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠DAB+∠BCD＝180° ∴∠BCD＝135° ∴∠BCG＝45°＝∠CBG ∴GC＝GB
又∵∠CGP＝∠BGP＝45°，GP＝GP ∴△GCP≌△GBP（SAS） ∴∠PCG＝∠PBG＝90° ∴∠PCD＝∠CDH＝∠DHP＝90° ∴四边形CDHP是矩形
∴CD＝HP＝6，PC＝DH＝6，∠CPH＝90°
1PH＝3，PD＝62 2
令CN＝m，则PN＝6﹣m，MN＝m+3 在Rt△PMN中，∵PM2+PN2＝MN2 ∴32+（6﹣m）2＝（m+3）2，解得m＝2 ∴PN＝4
过点N作NS⊥DP于S， 在Rt△PSN中，PS＝SN＝22 DS＝62﹣22＝42
tan?SDN?SN221?? DS422连接AF，FK，过点F作FQ⊥AD于点Q，过点F作FR⊥DK交DK的延长线于点R 在Rt△DFQ中，FQ＝DQ＝12 ∴AQ＝18﹣12＝6 ∴tan?FAQ?FQ12??2 AQ6∵四边形AFKD内接于⊙O， ∴∠DAF+∠DKF＝180° ∴∠DAF＝180°﹣∠DKF＝∠FKR 在Rt△DFR中，∵DF＝122,∴FR?tan?FDR?1 212102410 ,DR?551210 tan∠FKR＝2 5在Rt△FKR中，∵FR＝∴KR＝
610 524106101810 ． ??555∴DK＝DR﹣KR＝?
【点睛】
本题是一道有关圆的几何综合题，难度较大，主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形性质及判定，等腰直角三角形性质，解直角三角形等知识点；解题关键是添加辅助线构造直角三角形．
2．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作二射线AC与斜边EF平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）? （1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；
（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题： ①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；
②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．
【答案】（1）平行四边形EFPQ是菱形；（2）t=心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切． 【解析】
；当t为5秒或10秒时，以点Q为圆
试题分析：（1）过点Q作QH⊥AB于H，如图①，易得PQ=EF=5，由AC∥EF可得四边形EFPQ是平行四边形，易证△AHQ∽△EDF，从而可得AH=ED=4，进而可得AH=HE=4，根据垂直平分线的性质可得AQ=EQ，即可得到PQ=EQ，即可得到平行四边形EFPQ是菱形； （2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，则有AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．由EF∥AC可得△DEM∽△DAQ，然后运用相似三角形的性质就可求出t的值； ②若以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，则点Q在∠ADF的角平分线上（如图③）或在∠FDB的角平分线（如图④）上，故需分两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质求出AH、DH（用t表示），再结合AB=12，DB=t建立关于t的方程，然后解这个方程就可解决问题． 试题解析：（1）四边形EFPQ是菱形． 理由：过点Q作QH⊥AB于H，如图①，
∵t=5，∴AP=2×5=10． ∵点Q是AP的中点，
∴AQ=PQ=5．
∵∠EDF=90°，DE=4，DF=3， ∴EF=∴PQ=EF=5． ∵AC∥EF，
∴四边形EFPQ是平行四边形，且∠A=∠FEB． 又∵∠QHA=∠FDE=90°， ∴△AHQ∽△EDF， ∴
∵AQ=EF=5， ∴AH=ED=4． ∵AE=12-4=8， ∴HE=8-4=4， ∴AH=EH， ∴AQ=EQ， ∴PQ=EQ，
∴平行四边形EFPQ是菱形；
（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，
． =5，
此时AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4． ∵EF∥AC， ∴△DEM∽△DAQ， ∴∴
， ，
解得t=
；
②存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切， 此时点Q在∠ADF的角平分线上或在∠FDB的角平分线上． Ⅰ．当点Q在∠ADF的角平分线上时， 过点Q作QH⊥AB于H，如图③，
柳州数学圆 几何综合单元测试卷(含答案解析)
