2015届高三培优辅导资料（三）
已知过点(0，1)的直线l与曲线C：y?x?1(x?0)交于两个不同点M和N。求曲线C在x点M、N处切线的交点轨迹。
解：设点M、N的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，曲线C在点M、N处的切线分别为l1、l2，其交点P的坐标为(xp，yp)。若直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1。
1?1?y?x?由方程组?x，消去y，得x??kx?1，即(k?1)x2+x?1=0。由题意知，该方程在(0，
x?y?kx?1?1?0…(2)，+∞)上有两个相异的实根x1、x2，故k≠1，且Δ=1+4(k?1)>0…(1)，x1?x2?1?k3111x1x2??0…(3)，由此解得?k?1。对y?x?求导，得y'?1?2，则
41?kxx111y'|x?x1?1?2，y'|x?x2?1?2，于是直线l1的方程为y?y1?(1?2)(x?x1)，即
x1x2x11112y?(x1?)?(1?2)(x?x1)，化简后得到直线l1的方程为y?(1?2)x?…(4)。同
x1x1x1x1121122理可求得直线l2的方程为y?(1?2)x?…(5)。(4)?(5)得(2?2)xp???0，
x2x2x2x1x1x22x1x2因为x1≠x2，故有xp?…(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)得
x1?x2111111x1?x22yp?(2?(2?2))xp?2(?)…(7)，其中???1，
x1x2x1x2x1x2x1x2211x12?x2(x1?x2)2?2x1x2x1?x222代入(7)????()??1?2(1?k)?2k?1，222222x1x2x1x2x1x2x1x2x1x235式得2yp=(3?2k)xp+2，而xp=2，得yp=4?2k。又由?k?1得2?yp?，即点P的轨迹为
42(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。
如图，P是抛物线y2?2x上的动点，点B、C在y轴上，圆(x?1)2?y2?1内切于?PBC，求?PBC面积的最小值．
设P(x0,y0),B(0,b),C(0,c)，不妨设b?c．直线PB的方程:y?b?y0?b，化简得
xx0220(y0?b)x?x0y?x0b?0．又圆心(1,0)到PB的距离为1，
222(y0?b)2?x0?(y0?b)2?2x0b(y0?b)?x0by0?b?x0b(y0?b)?x?1 ，故
，易知
x0?2，上式化简得
同理有(x0?2)c2?2y0c?x0?0． 所以b?c?(x0?2)b2?2y0b?x0?0，
2?x0?2y0，
，bc?x0?2x0?22224x?4y?8x4x220000则(b?c)?．因P(x0,y0)是抛物线上的点，有y0?2x0，则(b?c)?，
22(x0?2)(x0?2)b?c?2x0． 所以x14S?PBC?(b?c)?x0?0?x0?(x0?2)??4?24?4?8．当
x0?22x0?2x0?2(x0?2)2?4时，上式取等号，此时x0?4,y0??22．
因此S?PBC的最小值为8．
x2y2设直线l:y?kx?m（其中k，m为整数）与椭圆??1交于不同两点A，B，与双曲
1612x2y2线??1交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量AC?BD?0，若存在，412指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
直线x?2y?1?0与抛物线y2?4x交于
A,B两点，C为抛物线上的一点，
?ACB?90?，则点C的坐标为 ．
2015届高三培优辅导资料(3)
