1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直
解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．
1
2．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线方程为( )
xB．y＝x
D．y＝－x－2
11－＋
1＋Δx11
解析：选A.f′(1)＝Δlim ＝lim ＝1，则在(1，－1)处的切线方程为x→0Δx→01＋ΔxΔxy＋1＝x－1，即y＝x－2.
2
3．函数y＝x＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.
x0＋Δx2＋4x0＋Δx－x20－4x0
解析：2＝Δlim x→0Δx＝2x0＋4，∴x0＝－1. 答案：－1
1
4．求证：函数y＝x＋图象上的各点处的切线斜率小于1.
A．y＝x－2 C．y＝x＋2
x
fx＋Δx－fx证明：∵y′＝Δlim x→0Δxx＋Δx＋－x＋
x＋Δxx＝Δlim x→0Δxx2－11
＝2＝1－2<1，
xx1
1
1
∴y＝x＋图象上的各点处的切线斜率小于1.
x
一、选择题
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是( ) A．在点x0处的斜率
B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值 C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率 D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率 答案：C
2
2．已知曲线y＝2x上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为( ) A．4 B．16 C．8 D．2
2
解析：选C.曲线在点A处的切线的斜率就是函数y＝2x在x＝2处的导数．
22
Δy2x＋Δx－2xf′(x)＝Δlim ＝Δlim x→0Δxx→0Δx2
4x·Δx＋2Δx＝Δlim ＝4x.则f′(2)＝8. x→0Δx3．已知曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么( )
A．f′(x0)＝0 B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＞0 D．f′(x0)不确定
解析：选B.曲线在某点处的切线的斜率为负，说明函数在该点处的导数也为负．
π2
4．下列点中，在曲线y＝x上，且在该点处的切线倾斜角为的是( )
4
A．(0,0) B．(2,4)
1111C．(，) D．(，)
41624
2
Δyx＋Δx－x2
解析：选D.k＝Δlim ＝Δlim x→0Δxx→0Δx
＝Δlim (2x＋Δx)＝2x. x→0
π
∵倾斜角为，∴斜率为1.
4
1
∴2x＝1，得x＝，故选D.
2
1?1?5．y＝－＋1在点?，－2?处的切线方程是( ) x?2?
A．y＝4x B．y＝4x－4 C．y＝4x＋4 D．y＝2x－4
111ΔxΔy1
解析：选B.先求y＝－＋1的导数：Δy＝－＋＝，＝，
xx＋Δxxxx＋ΔxΔxxx＋ΔxΔy1111?1，－2?处的切线斜率k＝lim ＝lim ＝，即y′＝.所以y＝－＋1在点?2?Δx→0ΔxΔx→0xx＋Δxx2x2x??
1
y′|x＝＝4.
2
?1?所以切线方程是y＋2＝4?x－?，即y＝4x－4. ?2?
f1－f1－x6．设f(x)为可导函数，且满足lim ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，x→0
xf(1))处的切线的斜率是( )
A．2 1C. 2
B．－1 D．－2
f1－f1－x＝－1，
x
f1－x－f1∴lim ＝－1， x→0－x∴f′(1)＝－1.
解析：选B.∵lim x→0
二、填空题
2
7．若曲线y＝2x－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝________. 解析：设切点坐标为(x0,1)，则f′(x0)＝4x0－4＝0， ∴x0＝1.即切点坐标为(1,1)． ∴2－4＋a＝1，即a＝3. 答案：3
8．已知函数y＝ax＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
2
baa1＋Δx解析： lim Δx→0Δx
2
－a＝Δlim (a·Δx＋2a)＝2a＝2， x→0
∴a＝1，又3＝a×1＋b，∴b＝2，即＝2.
答案：2
2
9．已知曲线y＝3x，则在点A(1,3)处的曲线的切线方程为________．
22
Δy31＋Δx－3×1
解析：∵＝＝6＋3Δx，
ΔxΔx
2
ba∴y′|x＝1＝Δlim (6＋3Δx)＝6. x→0
∴曲线在点A(1,3)处的切线斜率为6.
∴所求的切线方程为y－3＝6(x－1)，即6x－y－3＝0. 答案：6x－y－3＝0 三、解答题
2
10．曲线y＝－x＋4x上有两点A(4,0)，B(2,4)． 求：(1)割线AB的斜率kAB； (2)点A处的切线的斜率； (3)点A处的切线方程．
4－0
解：(1)kAB＝＝－2.
2－4
22
－x＋Δx＋4x＋Δx＋x－4x(2)f′(x)＝Δlim x→0Δx2
－2x·Δx－Δx＋4Δx＝Δlim x→0Δx
＝Δlim (－2x＋4－Δx)＝－2x＋4， x→0
∴点A(4,0)处的切线的斜率 k＝f′(4)＝－2×4＋4＝－4.
(3)点A处的切线方程为y＝－4(x－4)，即4x＋y－16＝0.
2
11．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．
2
解：先求曲线y＝3x－4x＋2在M(1,1)处的切线的斜率，
2
31＋Δx－41＋Δx＋2－3＋4－2
k＝y′|x＝1＝Δlim x→0Δx
＝Δlim (3Δx＋2)＝2. x→0
设过点P(－1,2)且斜率为2的直线为l，则由点斜式y－2＝2(x＋1)，化为一般式2x－y＋4＝0.
所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
2
12．已知抛物线y＝x＋4与直线y＝x＋10，求： (1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
2
??y＝x＋4，2
解：(1)由?得x＋4＝10＋x，
??y＝x＋10，2
即x－x－6＝0，
∴x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或13. ∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．
2
(2)∵y＝x＋4，
x＋Δx2＋4－x2＋4
∴y′＝Δlim x→0Δx2
Δx＋2x·Δx＝Δlim ＝Δlim (Δx＋2x)＝2x. x→0x→0Δx∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，
【优化方案】2020高中数学 第3章3.1.3知能优化训练 新人教B版选修1-1.doc
