. 北大计算机考研高等数学真题解答
2008年（5题60分）
1 （12分）f(x)有连续的二阶导数，f(a)?0，求lim11?。
f(x?a)?f(a)f?(a)x?a2 （12分）f(x)在?a,b?上连续且f(a)?f(b)?0，f?(a)f?(b)?0，证明：在?a,b?上必有一点u使得f(u)?0。 3 （12分）求不定积分?1?lnxdx。 2(x?lnx)x4 （12分）f(0)?0且f?(0)?0，f(x)有连续的导数，求lim?x?00tf(x2?t2)dx。 x415 （12分）f(x)在0附近可导且导数大于0，证明无穷级数f()发散，无穷级
n1数(?1)nf()收敛。
n2007年（5题60分）
1 （12分）求不定积分?e2x(tanx?1)2dx。
解：?e2x(tanx?1)2dx??e2xsec2xdx??e2x2tanxdx?
2x2x2x2xetanx?etanx?C。 edtanx?edtanx???
2 （12分）求连续函数f(x)，使它满足?f(tx)dt?f(x)?xsinx,f(0)?0。
01解：令u?tx,则t?0时，u?0，t?1时，u?x，du?xdt；
?10f(tx)dt?1xf(u)du?f(x)?xsinx??0x?x0f(u)du?xf(x)?x2sinx?
f(x)?f(x)?xf?(x)?2xsinx?x2cosx?f?(x)??2sinx?xcosx?
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. f(x)?cosx?xsinx?C?f(0)?1?C?0?C??1?f(x)?cosx?xsinx?1。
3 （12分）设0?x1?y1,xn?1?xnyn，yn?1?证明：limxn和limyn都存在并相等。
n??n??xn?yn,(n?1,2,?)。 2解：y1?x1?0?xn?0,yn?0，xn?yn?xn?yn?2xnyn?
yn?1?xn?1(n?0,1,?)?yn?xn(n?1,2,?)； yn?xn(n?1,2,?)?yn?1?yn?xn?yn?0?yn?1?yn?{yn}单调递减； 2yn?xn(n?1,2,?)?xn?1?xnyn?xnxn?xn?{xn}单调递增；
由以上两结论可知：
yn?xn???x1?{yn}有下界，于是limyn存在；
n??xn?yn???y1?{xn}有上界，于是limxn存在。
n??令limxn?A,limyn?B，由xn?1?xnyn，yn?1?x??x??xn?yn有： 2A?AB，B?
A?B解得A?B?1，所以limxn?limyn?1。
x??x??24 （12分）求和Sn?x?22x2?32x3???n2xn。
解：（1） 若x?1，Sn?1?22?32???n2?n(n?1)(2n?1)/6； （2） 若x?1，Snx?1?22x?32x2???n2xn?1?Tn??(Snx)dx?
0xx?2x2?3x3???nxn?Tnx?1?2x?3x2???nxn?1?
?x0?nn??x(1?x)x(1?x)(Tnx)dx?x?x2?x3???xn??Tn?x??1?x??? 1?x??nn?1x[1?(n?1)x?nx(1?x)2]?x[1?(n?1)x?nx?Sn?x??(1?x)2?nn?1?]???? ?x?x2?(n?1)2xn?1?(2n2?2n?1)xn?2?n2xn?3。 3(1?x)2 / 15
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5 （12分）求极限limlim1nn(n?1)?(2n?1)。 n??n11n??n(n?1)?(2n?1)?exp?lnlimnn(n?1)?(2n?1)?? n??n?n??n?1n1n?1??exp?limln[(1?)?(1?)]??
n??nnnn??11n?1??exp?lim[ln(1?0)?ln(1?)???ln(1?)]??
n??nnn??exp{?ln(1?x)dx}?exp{?(1?x)ln(1?x)?0??dx}?e2ln2?1?4/e。
10011
2006年（5题60分）
1 （12分）计算积分?解：??2220x3e?xdx。
220x3e?x212?x22122?x22122?x2?12?x2?dx??xedx???xde???xe???edx?
202420?2?02024?e?e?x2???1(1?3e?2)。 2
2 （12分）求lim1?cos(e?1)。
x?0(tan3x)(sinx)22x2解：x?0时，tanx~x，sinx~x；x?0时，x?0，ex?1~x2；
x?0时，ex?1?0，1?cos(ex?1)~2221x2(e?1)2；所以： 21x21222(e?1)(x)11?cos(ex?1)22。 lim?lim?lim?34x?0x?0x?0(tan3x)(sinx)x?xx2
3 （12分）设0?x?1，证明不等式
1?x?e?2x。 1?x3 / 15
北大计算机系考研_历年高等数学真题附答案
