2024学年新教材高中数学3.2.2第2课时零点的存在性及其近似值的求法精品练习含解析人教B版必修一

第2课时 零点的存在性及其近似值的求法

必备知识基础练 知识点一 二分法的概念 1.下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( ) 进阶训练第一层 2．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]上的零点时，需要的条件是( ) ①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)f(b)<0；③f(a)f(b)>0；④f(a)f(b)≥0. A．①③ B．①② C．①④ D．② 3．已知函数f(x)的图像如图所示，其中零点的个数及可以用二分法求近似解的零点的个数分别为( ) A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3 知识点二 判断函数零点所在的区间 24.二次函数f(x)＝ax＋bx＋c的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 f(x) 6 m －4 －6 －6 －4 n 6 2不求a，b，c的值，判断方程ax＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( ) A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1) C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞) 5．若a

x f(x) g(x)

A．ε越大，零点的精确度越高 B．ε越大，零点的精确度越低 C．重复计算次数就是ε D．重复计算次数与ε无关 538．用二分法研究函数f(x)＝x＋8x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( ) A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0.5,1)，f(0.875) C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25) 329．若函数f(x)＝x＋x－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.437 5) ＝0.162 f(1.406 25) ＝－0.054 32那么方程x＋x－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________． 关键能力综合练 一、选择题 1．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 019)<0，f(2 020)<0，f(2 021)>0，则下列叙述正确的是( ) A．函数f(x)在(2 019,2 020)内可能存在零点 B．函数f(x)在(2 020,2 021)内不存在零点 C．函数f(x)在(2 020,2 021)内存在零点，并且仅有一个 D．函数f(x)在(2 019,2 020)内不存在零点 322．函数f(x)＝x－2x＋3x－6在区间[－2,4]上的零点必定属于( ) A．[－2,1] B．[1,1.75] C．[1.75,2.5] D．[2.5,4] 23．对于函数f(x)＝x＋c，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内( ) A．可能有两个零点 B．一定没有零点 C. 一定有零点 D．至多有一个零点 4．已知连续函数f(x)的部分对应值如下表： 进阶训练第二层 x 1 2 3 4 5 6 f(x) 14 8 －2 2 7 3 则函数f(x)在区间[1,9]上的零点至少有( ) 7 －2 8 －1 9 8 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( ) A．0.9 B．0.7 C．0.5 D．0.4 6．(易错题)已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为?0，?，则下列说法中正确的是( ) ?0，?，?0，?，?2??4??8??a??a??a?

A．函数f(x)在区间?0，?内一定有零点 ?16??a?a????B．函数f(x)在区间?0，?或?，?内有零点 ?16??168???C．函数f(x)在?，a?内无零点 ?16?????D．函数f(x)在区间?0，?或?，?内有零点，或零点是 16?16??168?二、填空题 27．已知函数f(x)＝mx＋2x－1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是________． 8．定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x>0时，y＝f(x)是单调递增的，且f(1)f(2)<0，则函数f(x)的零点个数是________． 9．已知图像连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________________________________________________________________________． 三、解答题 210．(探究题)已知函数f(x)＝|x－2x|－a， (1)若函数f(x)没有零点，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)有三个零点，求实数a的取值范围； (4)若函数f(x)有四个零点，求实数a的取值范围． 学科素养升级练 进阶训练第三层 1．(多选)已知函数f(x)＝x－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是( ) A．a<1 112B．若x1x2≠0，则＋＝ 2aaaaaaax1x2aC．f(－1)＝f(3) D．函数有y＝f(|x|)四个零点 2．(学科素养—数学抽象)若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是________． ①函数f(x)在区间(0,1)内有零点； ②函数f(x)在区间(1,2)内有零点； ③函数f(x)在区间(0,2)内有零点； ④函数f(x)在区间(0,4)内有零点． 23．已知二次函数f(x)＝x－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围． (1)零点均大于1； (2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．

第2课时 零点的存在性及其近似值的求法

必备知识基础练

1．解析：按定义，f(x)在区间[a，b]上是不间断的，且f(a)f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图像可得B，C，D满足条件，而A不满足，在A中，函数图像经过零点时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.

答案：A

2．解析： 由二分法的定义知①②正确．故选B. 答案：B

3．解析：由图像知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点近似解，而其余3个均可使用二分法求零点近似解．

答案：D

4．解析：因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根．又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有根．

答案：A

5．解析：∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．

答案：A

6．解析：令F(x)＝f(x)－g(x)， 因为F(－1)＝f(－1)－g(－1)

＝－0.677－(－0.530)＝－0.147<0，

F(0)＝f(0)－g(0)＝3.011－3.451＝－0.44<0， F(1)＝f(1)－g(1)＝5.432－4.890＝0.542>0， F(2)＝f(2)－g(2)＝5.980－5.241＝0.739>0， F(3)＝f(3)－g(3)＝7.651－6.892＝0.759>0，

于是有F(0)·F(1)<0.所以F(x)在(0,1)内有零点，即f(x)＝g(x)在(0,1)内有实数解．故选B.

答案：B

7．解析：依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低． 答案：B

53

8．解析：∵f(x)＝x＋8x－1，f(0)<0，f(0.5)>0，

∴f(0)·f(0.5)<0，

∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，

第二次应计算的函数值应为f(0.25)，故选D. 答案：D

9．解析：根据题意知函数的零点在区间[1.375,1.5]内时，|1.5－1.375|＝0.125<2×0.1，故方程的一个近似根为1.437 5.

答案：1.437 5 关键能力综合练

1．解析：由题意得，f(x)在(2 019,2 020)内可能存在零点，在(2 020，2 021)内至少存在一个变号零点．

答案：A

2．解析：∵f(－2)＝－28<0，f(4)＝38>0， f(1)＝－4<0，f(2.5)＝4.625>0， f(1.75)＝－1.515 625<0.

∴f(x)在[－2,4]上的零点必定属于[1.75,2.5]．故选C. 答案：C

2

3．解析：利用特殖值法和数形结合的思想验证．如：①令c＝1，则f(x)＝x＋1，f(2)

2

＝f(－2)＝5>0，在(－2,2)内无零点；②令c＝0，则f(x)＝x，f(2)＝f(－2)＝4>0，在(－

2

2,2)内有一个零点；③令c＝－1，则f(x)＝x－1，f(2)＝f(－2)＝3>0，在(－2,2)内有两个零点．因此只有A正确．

答案：A

4．解析：∵f(2)＝8>0，f(3)＝－2<0，f(4)＝2>0， f(6)＝3>0，f(7)＝－2<0，f(8)＝－1<0，f(9)＝8>0， ∴f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0， f(6)·f(7)<0，f(8)·f(9)<0，

∴在(2,3)，(3,4)，(6,7)，(8,9)上都至少各有一个零点， ∴至少有4个零点，故选B. 答案：B

5．解析：∵f(0.72)>0，f(0.68)<0，∴f(0.72)×f(0.68)<0，∴存在x0∈(0.68,0.72)使x0为函数的零点，而0.7∈(0.68,0.72)．故选B.

答案：B

6．解析：根据二分法，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，零点应在?0，?

?16?或?

?

a?

?a，a?内，或零点是a.

?16?168?

答案：D

1

7．解析：当m＝0时，零点为x＝，满足题意．

2

当m≠0时，Δ＝4＋4m≥0，解得m>0或－1≤m<0，

21

设x1，x2是函数的两个零点，则x1＋x2＝－，x1x2＝－.

mm若m＝－1，函数只有一个零点1，满足题意；

若－10，则x1，x2一正一负，满足题意．

综上，实数m的取值范围是{－1}∪[0，＋∞)． 答案：{－1}∪[0，＋∞)

8．解析：由已知可知，存在x0∈(1,2)，使f(x0)＝0，又函数f(x)为偶函数，所以存在x0′∈(－2，－1)，使f(x0′)＝0，且x0′＝－x0.故函数f(x)的零点个数是2.