2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
x?x3（1）函数f(x)?的可去间断点的个数为
sin?x(A)1. (B)2.
(C)3.
2 (D)无穷多个.
（2）当x?0时，f(x)?x?sinax与g(x)?xln(1?bx)是等价无穷小，则
11. （B）a?1，b?. 6611(C)a??1，b??. （D）a??1，b?.
66xsint（3）使不等式?dt?lnx成立的x的范围是
1t(A)a?1，b??(A)(0,1).
(B)(1,?). (C)(,?).
22? (D)(?,??).
（4）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为
f(x) 1 O -1 x-2 1 2 3 x
则函数F?x???f?t?dt的图形为
0f(x) 1 O -1 f(x) 1 -2 (A)
1 2 3 x (B)
-2 -1 O 1 2 3 x
f(x)1 O 1 2 3 f(x)1 -1 (C)
x (D)
?*-2 -1 O 1 2 3 x
（5）设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若|A|?2,|B|?3，则分
?OA?块矩阵??的伴随矩阵为
BO???O3B*?(A)?*?.
O??2A?O3A*?(C)?*?.
2BO???O (B)?*?3A
2B*??. O?2A*??. O??O (D)?*?3B?100???TT（6）设A,P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP??010?，
?002???若P?(?1,?2,?3),Q?(?1??2,?2,?3)，则QAQ为
T?210???(A)?110?.
?002????200???(C)?010?.
?002???
?110??? (B)?120?.
?002????100??? (D)?020?.
?002???
（7）设事件A与事件B互不相容，则 (A)P(AB)?0.
(B)P(AB)?P(A)P(B). (D)P(A?B)?1.
(C)P(A)?1?P(B).
（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为
P{Y?0}?P{Y?1}?
1，记Fz(Z)为随机变量Z?XY的分布函数，则函数FZ(z)的间断2
点个数为
(A) 0.
(B)1. (C)2. (D)3.
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）lime?ecosx1?x?12x?03? .
（10）设z?(x?e)，则
yx?z? .
?x(1,0)en?(?1)nn（11）幂级数?x的收敛半径为 . 2nn?1?（12）设某产品的需求函数为Q?Q(P),其对应价格P的弹性?p?0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.
?300???TTT（13）设??(1,1,1),??(1,0,k)，若矩阵??相似于?000?，则k? .
?000???(14) 设X1，X2,…,Xm为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分别为样本均值和样本方差，记统计量T?X?S，则ET? . 三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）
求二元函数f(x,y)?x22?y2?ylny的极值. （16）（本题满分10 分） 计算不定积分ln(1?22???1?x)dx (x?0). x（17）（本题满分10 分） 计算二重积分
??(x?y)dxdy，其中D?{(x,y)(x?1)D2?(y?1)2?2,y?x}.
（18）（本题满分11 分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?上可导，则
???a,b?，得证f(b)?f(a)?f'(?)?b?a?.
（Ⅱ）证明：若函数f(x)在x?0处连续，在?0,??,(??0)内可导，且
x?0limf'(x)?A，则f?'(0)存在，且f'?(0)?A. ?（19）（本题满分10 分）
设曲线y?f(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)?0.已知曲线y?f(x)与直线
y?0,x?1及x?t(t?1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯
形面积值的?t倍，求该曲线的方程.
（20）（本题满分11 分） 设
?1?1?1???1?????A=??111?,?1??1?.
?0?4?2???2?????2（Ⅰ）求满足A?2??1，A?3??1的所有向量?2，?3.
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量?2,?3，证明?1,?2,?3线性无关. （21）（本题满分11 分） 设二次型
f(x1,x2,x3)?ax12?ax22?(a?1)x32?2x1x3?2x2x3.
（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值.
22（Ⅱ）若二次型f的规范形为y1?y2，求a的值.
（22）（本题满分11 分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?e?xf(x,y)???0（Ⅰ）求条件概率密度fYX(yx)； （Ⅱ）求条件概率PX?1Y?1. （23）（本题满分11分）
0?y?x其他
??袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求
以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.
（Ⅰ）求PX?1Z?0；
（Ⅱ）求二维随机变量(X,Y)的概率分布.
??2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题及答案解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
x?x3（1）函数f(x)?的可去间断点的个数为
sin?x?A?.
1
?B?. 2 ?C?.
3
?D?.无穷多个
【答案】C 【解析】
x?x3 f?x??
sin?x则当x取任何整数时，f?x?均无意义
故f?x?的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是x?x?0的解
3x1,2,3?0,?1
x?x31?3x21lim?lim?x?0sin?xx?0?cos?x?x?x31?3x22 lim?lim?x?1sin?xx?1?cos?x?x?x31?3x22lim?lim?x??1sin?xx??1?cos?x?故可去间断点为3个，即0,?1
（2）当x?0时，f(x)?x?sinax与g(x)?xln(1?bx)是等价无穷小，则
2
大学历年考研真题-2009年全国硕士研究生入学统一考试(数三)试题及答案
