??ev4 v4??e2Ek4 Ek4
（22） （23）
以此类推，可得乒乓球与金属板第n次碰撞前、后的动能分别为
22?n?2??C0U2 Ekn??1?e?L?e??
（24） （25）
??e2?1?e2L?eEkn?2?n?2??C0U22 ?即
1?e??Ekn?C0U2 21?e2n?1 （26）
??Elne2??1?e2?n?1?1?e2??CU2
0 （27）
?均随碰撞次数单调递增。对非弹性碰撞，e?1，可由以上两式看出Ekn和Ekn当n??时有
Ek??1C0U2 21?e （28）
e22??? （29） EkCU01?e2乒乓球运动过程中达到的最大动能应与金属板碰撞前的极限动能，即
1 （30） C0U2 21?e2．经过足够长时间后亦即n??时，乒乓球在某一次与金属板碰撞后和下一次碰撞前的速度分别为 Ekmax?Ek????v???2Ek?eUm2Ek??Um?1?e?m22C0 （31）
v???1?e2?m2C0 （32）
此间时间间隔 T?d ??v?v?2 （33）
因此可得，通过外电路的平均电流强度
q T由（31）、（32）、（33）、（34）各式得 I?
C0U21?eC0 I?d1?e2m （34）
（35）
评分标准：（26）、（27）式或（28）、（29）式共8分，（30）式2分，（31）~（33）式各1分，（35）式2分。 七、
参考答案1：
1．a?a和cc?中的感应电动势为 22Bl?sin? 2b?b和dd?中的感应电动势为 Ea?a?Ecc???1?22Bl?cos? 2根据电路的对称性可知
（1）
?b?b??dd???2? （2）
Iba?Ia?b??Id?c??Icd?I1?，Iad?Id?a??Ic?b??Ibc?I2
（3）
根据基耳霍夫第一定律，有 Iaa??Ic?c?I1?I2 Ib?b?Idd??I1?I2
（4） （5）
根据基耳霍夫第二定律，有 I1R?Iaa?R?I1R1?Ibb?R??2??1 I1R?Idd?R?I2R?IadR??2??1
（6） （7）
Ibc?Iad2Bl2??I1??cos??sin??
8R （8）
2Bl2?Iad?Ibc?I2??cos??sin?? （9）
8R2．当正方体转动到任意位置（对角线db与磁场夹角为任意?）时，通过a?a、cc?，b?b、dd?的电流 Ia?aIcc?Ib?b2Bl2??Iad?Iba?sin?
4R2Bl2??Ibc?Icd?sin?
44
（10） （11） （12）
2BI2??Iba?Ibc?cos?
4R2Bl2? （13） Idd??Iad?Icd?cos?
4R为维持正方体作匀速转动所需的外力矩等于磁场对电路作用的合力矩，即
Fa?a?Fcc??BlIa?a，Fb?b?Fdd??BlIb?b
（14） （15）
22lsin??2Fb?blcos? 22将（11）~（14）代入（15），得 M?2Fa?aB2l4?。 （16） M?2R评分标准：（1）、（2）式共2分，（4）、（5）式共4分，（6）、（7）式共4分，（10）~（13）式共2分，（14）式1分，（15）式2分，（16）式1分。 参考解答2：
1．a?a和cc?中的感应电动势为
?a?a??cc??22Bl?sin? 2b?b和dd?中的感应电动势为
22Bl?cos? 2 （1b）
?b?b??dd?? （2b）
先计算?b?b和?dd?单独存在（?a?a和?cc?短路）时流过各支路的电流。若将a?a和
cc?断开，则等效电路如图所示，则通过b?b和dd?电流
2Bl2?Ib?b?Idd???cos?
4R4R通过ba、ad、bc和cd的电流强度
?1??1??b?b??dd? （3b）
1?1?2Bl2? （4b） Ibd?Iad?Icd?Ib?b?cos?
28R根据电路的对称性，此时a?、a之间，c、c?之间的电势差
?1??1??1?Ua?a?Ucc??0
（5b）
由此连接a?a和cc?后流过a?a和cc?的电流。
????Iaa??Icc??0
11 （6b）
因此连接a?a和cc?不影响ba和ad中的电流。 再计算?a?a和?cc?单独存在（?b?b和?dd?短路）时流过各支路的电流。若将b?b和dd?断开，等效短路时如图所示。采用与上述一样的方法，可得?a?a和
?cc?单独存在时流进a?a和cc?电流
2Bl?2 Ia?a?Icc??sin?
4R通过ba、ad、bc和cd的电流
?2??2? （7b）
Iba?IcdIad?Ibc?2??2??2?2Bl?2??sin?
8R2Bl?2?sin? 8R
（8b） （9b）
?2?此时b?、b之间和d、d?之间的电势差Ub?b?Udd??0，由此连接b?b和dd?后流过b?b和dd?的电流
????Ib?b?Idd??0
22 （10b）
因此连接bb?和dd?不影响各支路中的电流。
根据叠加原理，ba、ad、bc和cd的电流强度； Iba?Iba?Iba?1??1??2?2Bl?2??cos??sin?? 8R2Bl?2??cos??sin?? 8R2Bl?2??cos??sin?? 8R
（11b） （12b） （13b）
Iad?Iad?IadIbc?Ibc?Ibc?1??1??2??2?2Bl?2Icd?Icd?Icd??cos??sin?? （14b）
8R2．与“参考解答1”相同。
评分标准：参考“参考解答1”的评分标准。 八、
参考解答：
1．光路图如下，指出被球面镜反射的光线汇累于凸透镜的焦点。
?2?
2．参照所给光路图，可知CO?x，设∠CAO?a，有如下几何关系：
sin??x， R
（1） （2）
r?fcot?2??
两式联立，可求得
f??1x?Rsin?arctan?。
r??2 （3）
评分标准：正确画出光路图5分，（3）式5分。
第27届全国中学生物理竞赛决赛试题答案
