金版教程·高考总复习·数学·理（经典版）
第4讲 幂函数与二次函数
基础知识整合
1．幂函数
01y＝xα的函数称为幂函数，(1)定义：形如□其中底数x是自变量，α为常数．常
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见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x ，y＝x－1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数的图象和性质
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1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． (3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．一元二次不等式恒成立的条件
(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”． (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”．
1．(2018·武汉模拟)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )
A．f(0) 1解析 由f(1＋x)＝f(－x)知函数f(x)图象的对称轴为x＝2，而抛物线的开口向1?1?1?3?1?5? 上，且?0－2?＝2，?2－2?＝2，?－2－2?＝2，根据到对称轴的距离远的函数值较 ?????? 金版教程·高考总复习·数学·理（经典版） 大得f(－2)>f(2)>f(0)．故选A. ?2? 2．已知幂函数f(x)的图象经过点?2，?，则f(x)为( ) 2??A．偶函数 B．奇函数 C．增函数 D．减函数 答案 D ?2? 解析 设幂函数f(x)＝xα，∵其图象过点?2，?， 2?? 11 －－2221α ∴2＝＝2 ，解得α＝－，∴f(x)＝x ， 22 ∴f(x)为减函数．故选D. 3．(2019·河南安阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( ) A．1 B．0 C．－1 D．2 答案 A 解析 ∵f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4， ∴函数f(x)＝－x2＋4x＋a在[0,1]上单调递增，∴当x＝0时，f(x)取得最小值，当x＝1时，f(x)取得最大值，∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1，故选A. 4．(2018·上海高考)已知 ??11 ?α∈－2，－1，－2，2，1，2，3?.若幂函数?? f(x)＝xα 为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________. 答案 －1 解析 ∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1. 5．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则m的取值范围为________． 答案 (－∞，－3] 解析 只需要在x∈(0,1]时，(x2－4x)min≥m即可．因为函数f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，所以当x＝1时，(x2－4x)min＝1－4＝－3，所以m≤－3. 6．(2019·武汉模拟)方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有根，则实数a的取值范围为________．
第二章 第4讲 幂函数与二次函数
