极限的常用求法及技巧
引言
极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，
我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x趋于正无穷，x趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通
。
1数列极限的常用求法及技巧
数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。
1.1利用定义求数列极限
利用定义法即利用数列极限的定义 设?an? 为数列。若对任给的正数N，使得n大于N时有
an?a??
则称数列?an?收敛于a,定数a称为数列?an?的极限，并记作liman??,(n??)
n??an?a,或
读作当n趋于无穷大时，?an?的极限等于a或an趋于a 例证明
limn??解 由于
3n299?3??（n?3)22 n?2 n?3n3n2n2?2
因此，对于任给的?>0,只要
9??，便有 n3n2?3?? n2?3
即当n?9
?时，（2）试成立。又因为（1）式是在n?3的条件下也成立，故应取
?9? N?max?3,?.
???在利用数列的??N定义时，应意识到下几点
1.?的任意性 定义中的正数?的作用在于衡量数列通项?an?与定数a的接近程度，?越小，表示接近的愈好；而正数?可以任意的小，说明?an?与a可以接近到任何程度。然而，尽管?有其任意性，但已经给出，就暂时的被确定下来了，以便依靠它来求出N.又
1.2 利用极限的四则运算
极限的四则运算法则
若{an}与{bn}为收敛数列，则{an?bn}，{an?bn}，{an?bn}也都是收敛数列，其有
lim(an?bn)?liman?bnn??n??n??lim(an?bn)?limanlimbnn??n??n??
例 求limn(n?1?n) 解
n(n?1?n)?n?n?1?n1 11??1n由1?得
1?1(n??) n11? 211??1nlimn(n?1?n)?limn??n??1.3利用单调有界定理
单调有界定理即在实数系中，有界的单调数列必有极限，单调数列即 若数列?an?的各项关系式，
an?an?1(an?an?1)
则称?an?为递增（递减）数列。
递增数列和递减数列统称为单调数列。有界性即?存在使得对于一切正整数n,有
an?M这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为:(1)判定
数列是单调有界的，从而可设其极限为A。（2）建立数列相邻两项之间的关系式。（3）在关系式两端取极限，得以关于A的方程，若能解出A，问题就可以解决了。 一般利用单调有界原理求极限的题目都给出了第n项和第n+1项的关系式。首先应用归纳法或“差法”，“比法”等方法证明其单调性，再证明其单调性，有界性（或先证有界，再证单调）。由单调有界定理得出极限的存在性，然后对关系式两端求极限， 例求数列a,a?a,a?a?a?a?a??a?其中（a>0）极限 解: 设x0?a，x1?a?a?a?x0…xn?1?a?xn(n?1,1,2...)
则{xn}是单调有界数列，它必有极限，设其极限为A在
xn?1?a?xn两边取极限得A?a?A即A2?A?a?0
所以A?1?1?4a1?1?4a，因为A>0所以A? 22即limxn?n??1?1?4a 2例设x0>0, a>0,xn?1=之。 证明：
a1(xn+), n=0,1,2?.z 证明数列?xn?的极限存在，并求2xn易见xn>0,n=0,1,2?.所以有
a1=(+)≥xn?12xnxnxn.
ax=a
nxn?1=
a11(xn+)≥(xn+2xn2xnx2)=xn
n1?(?l)n(a2?a1) =a1?1?l由0 n??lima?limn??nn??a2?a1?la1?a2?1?l an?1=a11?llimn??aan?1n=limn??liman?1n??limann???1 1.4利用迫敛法则 利用迫敛法则求极限主要利用放缩法将其同时放大或缩小成俩个已知数列。（已知数列的极限相同）即设数列?an?,?bn?都以a为极限，且存在N0,使得当n>N0时 an?cn?bn 则数列?cn?收敛，且limcn?a 。 n??由迫敛法则可得所求极限与已知数列极限相等 例 求limn??1.3.5?（2n-1） 2.4.6?（2n)1.3.5?（2n-1）2.4.6?(2n） ，y= 显然xn nn2.4.6?（2n)3.5.7?（2n?1)解 ：记xn= ?x?单调递减有下界，极限存在。记limxnn??=?, 对关系式xn?1=na1(xn+) 2xni令n→∞取得极限得到A=a.(其中A=-a<0，因不合舍去) 例 设 3?m）,记 M=max(a1,a2,?am)。证明 ﹥0（i=1，2， limn??nna1+a2+?am=M nnnnnnn证明：因M m2即 limn??a1+a2+?am=M nnnn 1.5利用递推关系 有些题目中数列的单调性不易证得时就不能应用单调有界定理，此时可尝试采用递推关系应用压缩原理去解决.这些题目一般都给我们一个递推式an?1?f(an)，但单调性不易或根本无单调性， 例 设 a1，a2为任意取定的实数，且a1+a222≠0，定义an?1?kan?lan?1① 其中，k,l为正数，且k?l?1,n=1,2?.试求limn??aan?1n 证明 由k?l?1,即0< k<1,0 an?1-an??l(an?an?1)?l（an?1?an?2)??l2n?1(a2?a1) an?1?(an?1?an)?(an?an?1)??(a2?a1)?a1
极限的常用求法及技巧
