§1.3.1 单调性与最大(小)值
班级 姓名 成绩
学习目标:
1.通过对初中已学习过的函数(特别是二次函数)图象的观察,分析,逐步理解函数的单调性及其几何意义。
2.能根据图像的升降特征,划分函数的区间;理解增(减)函数的定义,会证明函数在指定区间上的单调性。
学习重点:函数的单调性及其几何意义; 学习难点:函数的单调性的符号语言表示,;
自主预习 一、知识梳理
阅读课本P27-31,完成下列题目: 1、增函数的定义:
如果对于定义域I内 的 两个自变量的值x1,x2,当x1?x2时,都有 ,那么就说函数f?x?在区间D上是 ,称函数y?f?x?在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫作的单调 。 2、减函数的定义:
如果对于定义域I内 的 两个自变量的值x1,x2,当x1?x2时,都有 ,那么就说函数f?x?在区间D上是 ,称函数y?f?x?在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫作的单调 。 3、函数的最大值
设函数y?f?x?的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x?I,都有 ;
(2)存在x0?I,使得 ,则称M是函数y?f?x?的最大值; 4、函数的最小值
设函数y?f?x?的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x?I,都有 ;
(2)存在x0?I,使得 ,则称M是函数y?f?x?的最小值;
二、自我检测:
1、常见函数的图象以及函数值变化
① 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是 ,
1)当 时,图象呈 趋势,表示y随着x的增大而增大; 2)当 时,图象呈 趋势,表示y随着x的增大而减小;
2?4acbb②二次函数y=ax2+bx+c= a(x+)2-(a≠0)的图象是 ;
2a4a1) 当a>0时,抛物线的开口向上,在对称轴的左边,函数图象呈 趋势,表示y随着x的增大而 ;
在对称轴的右边,函数图象呈 趋势,表示y随着x的增大而 ;
2) 当a<0时,抛物线的开口向上,在对称轴的左边,函数图象呈 趋势,表示y随着x的增大而 ;
在对称轴的右边,函数图象呈 趋势,表示y随着x的增大而 ③ 反比例函数y?k(k?0)的图象是 ; x1) 当k>0时,在每个象限内,函数的图象呈 趋势,表示y随着x的增大而 ; 2) 当k<0时,在每个象限内,函数的图象呈 趋势,表示y随着x的增大而
1
2、如图,定义在定义域[?5,5]上的函数y?f(x),则该函数的 单调递增区间是 ; 单调递减区间是 ;
3、函数y?f(x)(x???2,2?)的图象如右图所示,则函数f(x)的 最大值和最小值分别是 、 。
-2 -1 -1 第3题图
1 y 1.5 1 2 x4、函数y?,x??2,3?的最大值和最小值分别是 、 。
x?1
课堂巩固:
探究1、函数单调性的证明 例1:证明函数f(x)=x?x 1在?01上是减函数. ,?x
方法小结1:
函数单调性的证明是最基本的题型,所用的方法也是最基本的方法——定义法,整个证明过程分四个步骤: (1) ,在指定区间A任取x1,x2?A,且令x1?x2;
(2) ,将f(x1)?f(x2)进行恒等变形,主要变形手段有 ; (3) ,对变形之后的差进行判断,判断这一差是正数还是负数,最终确定f(x1)?f(x2)的符号; (4) ,根据定义判断函数是增函数还是减函数。
变式训练1:例1中,若区间改为?1,???,单调性如何改变?请证明。
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探究2、利用单调性求参数的取值范围
例2、已知函数f?x??x2?2?a?1?x?2在区间???,4?上是减函数,求实数a的取值范围。
变式训练2:例2中,若将函数“在区间???,,则4?上是减函数”改为“函数的单调递减区间为???,4?”a取何值?
探究3、利用单调性求函数的最值
例3、已知函数f?x??x2?2x?3x?x??2,????,求f?x?的最小值。
方法小结3:
求函数最值的重要方法之一:利用函数的 。解题时,先判断函数的 ,并证明。
变式训练3:求函数f?x??xx?1在区间?2,5?上的最大值与最小值。
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课后作业:
1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是
A.y=2x+1
B.y=3x2+1
( ) C.y=
2 xD.y=2x2+x+1
x2x,(4)y?x?在(-∞,0)上是增函数的有( ) 2.函数(1)y?x,(2)y?,(3)y?xxxxA.(1)、(2) B. (2)、(3) C. (3)、(4) D. (1)、(4)
3.下列命题中,正确命题的个数是( ) ①若f(x)是增函数,则
1f(x)是减函数;②若f(x)是减函数,则∣f(x)∣为减函数; ③若f(x),g(x)是增函数,则f(x)·g(x)是增函数; ④若f(x),g(x)是减函数,则f(x)+g(x)是减函数; A.1 B.2 C.3 D.4
4.定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a、b,总有(fa)-(fb)a-b>0成立,则必有( A.函数f(x)是先增后减函数 B. 函数f(x)是先减后增函数 C.f(x)在R上是增函数 D.f(x)在R上是减函数
6.如果下列函数在给定集合或区间上是减少的,那么式中的字母k属于什么区间: (1)y=kx,x?R; (2)y=kx,x????,0?; (3)y=-kx+2, x?R;
7. 求函数y?x2x?3在区间?1,2?上的最大值和最小值。
8.若函数f?x??kx2?23x?1在?0,???上单调递减,求实数k的取值范围。
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人教版高一数学必修1第一章《函数的基本性质——单调性与最大(小)值》学案
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