§1．3．1 单调性与最大（小）值
班级 姓名 成绩
学习目标：
1.通过对初中已学习过的函数（特别是二次函数）图象的观察，分析，逐步理解函数的单调性及其几何意义。
2.能根据图像的升降特征，划分函数的区间；理解增（减）函数的定义，会证明函数在指定区间上的单调性。
学习重点：函数的单调性及其几何意义； 学习难点：函数的单调性的符号语言表示，；
自主预习 一、知识梳理
阅读课本P27-31，完成下列题目： 1、增函数的定义：
如果对于定义域I内 的 两个自变量的值x1,x2，当x1?x2时，都有 ，那么就说函数f?x?在区间D上是 ，称函数y?f?x?在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫作的单调 。 2、减函数的定义：
如果对于定义域I内 的 两个自变量的值x1,x2，当x1?x2时，都有 ，那么就说函数f?x?在区间D上是 ，称函数y?f?x?在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫作的单调 。 3、函数的最大值
设函数y?f?x?的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x?I，都有 ；
（2）存在x0?I，使得 ，则称M是函数y?f?x?的最大值； 4、函数的最小值
设函数y?f?x?的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x?I，都有 ；
（2）存在x0?I，使得 ，则称M是函数y?f?x?的最小值；
二、自我检测：
1、常见函数的图象以及函数值变化
① 一次函数y=kx＋b（k≠0）的图象是 ，
1）当 时，图象呈 趋势，表示y随着x的增大而增大； 2）当 时，图象呈 趋势，表示y随着x的增大而减小；
2?4acbb②二次函数y=ax2＋bx＋c= a（x＋）2－（a≠0）的图象是 ；
2a4a1） 当a＞0时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边，函数图象呈 趋势，表示y随着x的增大而 ；
在对称轴的右边，函数图象呈 趋势，表示y随着x的增大而 ；
2） 当a＜0时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边，函数图象呈 趋势，表示y随着x的增大而 ；
在对称轴的右边，函数图象呈 趋势，表示y随着x的增大而 ③ 反比例函数y?k(k?0)的图象是 ； x1） 当k＞0时，在每个象限内，函数的图象呈 趋势，表示y随着x的增大而 ； 2） 当k＜0时，在每个象限内，函数的图象呈 趋势，表示y随着x的增大而
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2、如图，定义在定义域[?5,5]上的函数y?f(x)，则该函数的 单调递增区间是 ； 单调递减区间是 ；
3、函数y?f(x)（x???2，2?）的图象如右图所示，则函数f(x)的 最大值和最小值分别是 、 。
-2 -1 -1 第3题图
1 y 1.5 1 2 x4、函数y?，x??2,3?的最大值和最小值分别是 、 。
x?1
课堂巩固：
探究1、函数单调性的证明 例1：证明函数f(x)=x?x 1在?01上是减函数. ，?x
方法小结1：
函数单调性的证明是最基本的题型，所用的方法也是最基本的方法——定义法，整个证明过程分四个步骤： (1) ，在指定区间A任取x1,x2?A，且令x1?x2；
(2) ，将f(x1)?f(x2)进行恒等变形，主要变形手段有 ； (3) ，对变形之后的差进行判断，判断这一差是正数还是负数，最终确定f(x1)?f(x2)的符号； (4) ，根据定义判断函数是增函数还是减函数。
变式训练1：例1中，若区间改为?1，???，单调性如何改变？请证明。
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探究2、利用单调性求参数的取值范围
例2、已知函数f?x??x2?2?a?1?x?2在区间???，4?上是减函数，求实数a的取值范围。
变式训练2：例2中，若将函数“在区间???，，则4?上是减函数”改为“函数的单调递减区间为???，4?”a取何值？
探究3、利用单调性求函数的最值
例3、已知函数f?x??x2?2x?3x?x??2,????，求f?x?的最小值。
方法小结3：
求函数最值的重要方法之一：利用函数的 。解题时，先判断函数的 ，并证明。
变式训练3：求函数f?x??xx?1在区间?2，5?上的最大值与最小值。
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课后作业：
1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是
A．y=2x＋1
B．y=3x2＋1
（ ） C．y=
2 xD．y=2x2＋x＋1
x2x,(4)y?x?在（-∞，0）上是增函数的有（ ） 2．函数(1)y?x,(2)y?,(3)y?xxxxA．（1）、（2） B. （2）、（3） C. （3）、（4） D. （1）、（4）
3．下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①若f（x）是增函数，则
1f(x)是减函数；②若f（x）是减函数，则∣f（x）∣为减函数； ③若f（x），g（x）是增函数，则f（x）·g（x）是增函数； ④若f（x），g（x）是减函数，则f（x）＋g（x）是减函数； A．1 B．2 C．3 D．4
4.定义在R上的函数f（x）对任意两个不等实数a、b，总有（fa）-（fb）a-b>0成立，则必有（ A．函数f（x）是先增后减函数 B. 函数f（x）是先减后增函数 C.f(x)在R上是增函数 D.f(x)在R上是减函数
6.如果下列函数在给定集合或区间上是减少的,那么式中的字母k属于什么区间: （1）y=kx,x?R; （2）y=kx,x????,0?; （3）y=-kx+2, x?R;
7. 求函数y?x2x?3在区间?1，2?上的最大值和最小值。
8.若函数f?x??kx2?23x?1在?0，???上单调递减，求实数k的取值范围。
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人教版高一数学必修1第一章《函数的基本性质——单调性与最大(小)值》学案
