??2＋y＝1，①
?x??2＋y＝1，②
2
1
22
22
x21
①－②得
y2－y1x2＋x1x＝－＝－， x2－x12（y2＋y1）2yxy－1
所以－＝，
2yx－2
化简得x－2x＋2y－2y＝0(包含在椭圆＋y＝1内部的部分).
2
2
2
x2
2
x111?1?(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，因此所求直线方程是y－＝－?x－?，化
2y222?2?
简得2x＋4y－3＝0.
x2y2
10.(2019·全国Ⅱ卷)已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，Oab为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围. 解 (1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)c，故C的离心率为e＝＝3－1. (2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当 1yyxy|y|·2c＝16，·＝－1，2＋2＝1， 2x＋cx－cab即c|y|＝16，①
2
2
cax2＋y2＝c2，② x2y2
＋＝1.③ a2b2
b4
由②③及a＝b＋c得y＝2. c2
2
2
2
16
又由①知y＝2，故b＝4.
2
2
ca222
由②③及a＝b＋c得x＝2(c－b)，
c2
2
2
2
所以c≥b，从而a＝b＋c≥2b＝32， 故a≥42.
当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P. 所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞).
222222
B级 能力提升
→→2
11.已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若PF1·PF2<0，则
4
x2
x0的取值范围是( )
?2626?A.?－，?
3??3
C.?－
?2323?
B.?－，?
3??3
D.?－
?
?33?，? 33??
?66?，? 33?
→→222
解析 由题意可知F1(－3，0)，F2(3，0)，则PF1·PF2＝(x0＋3)(x0－3)＋y0＝x0＋y0－2626?x0?3<0.因为点P在椭圆上，所以y＝1－.所以x＋?1－?－3<0，解得－ 433?4? ?2626? 的取值范围是?－，?. 3??3 2 0 20 x20 2 答案 A 12.(2020·江西五校联考)平行四边形ABCD内接于椭圆＋＝1，直线AB的斜率k1＝2，则 84直线AD的斜率k2等于( ) 1A. 2 1B.－ 2 1C.－ 4 D.－2 x2y2 解析 设AB的中点为G，则由椭圆的对称性知，O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则 GO∥AD. ??8＋4＝1， 设A(x，y)，B(x，y)，则有?两式相减得 xy??8＋4＝1， 1 1 2 2 2 2 22 x2y211 （x1－x2）（x1＋x2）（y1－y2）（y1＋y2） ＝－， 84 x1＋x2y1－y2 整理得＝－＝－k1＝－2， 2（y1＋y2）x1－x2 即 y1＋y21?x1＋x2，y1＋y2?， ＝－.又G?2?x1＋x24?2? y1＋y2 －0 211 所以kOG＝＝－，即k2＝－，故选C. x1＋x244 －02答案 C x2y2 13.(2019·宣城二模改编)已知F1，F2分别为椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P是椭圆 ab上位于第二象限内的点，延长PF1交椭圆于点Q，若PF2⊥PQ，且|PF2|＝|PQ|，则椭圆的离心 率为________. 解析 连接F2Q，由已知PF2⊥PQ，且|PF2|＝|PQ|，得△F2PQ是等腰直角三角形，设|PF2|＝m，|QF2|＝n，由椭圆的定义得|PF1|＝2a－m，|QF1|＝2a－n，则有2a－m＋2a－n＝m，且n＝2m，∴m＝2(2－2)a. 在Rt△F1PF2中，由勾股定理得，m＋(2a－m)＝4c，即[2(2－2)a]＋[2a－2(2－2)a]＝4c， ∴4(6－42)a＋(12－82)a＝4c，即(9－62)a＝c， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c2 从而e＝2＝9－62，又知0 a2 答案 6－3 x2y2 14.(2020·北京东城区模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)过点 abP(2，1)，且离心率e＝(1)求椭圆C的方程； 1 (2)若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB的面积的最大值. 2 3. 2 c2a2－b2322 解 (1)因为e＝2＝2＝，所以a＝4b. aa4 2 x2y2 又椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)过点P(2，1)， ab4122 所以2＋2＝1.所以a＝8，b＝2. ab故所求椭圆方程为＋＝1. 82 12 (2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立22消去y整理，得x2xy＋＝182＋2mx＋2m－4＝0. 所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m－4. 又直线l与椭圆相交，所以Δ＝4m－8m＋16>0，解得|m|<2. 则|AB|＝ 122 1＋×（x1＋x2）－4x1x2＝5（4－m）. 4 |m|＝11＋4 2|m| . 5 2 2 2 2 x2y2 ????? y＝x＋m， 1 2 点P到直线l的距离d＝ 112|m|m＋4－m222 所以S△PAB＝d|AB|＝××5（4－m）＝m（4－m）≤＝2. 2225当且仅当m＝2，即m＝±2时，△PAB的面积取得最大值为2. C级 创新猜想 2 22 x2y2 15.(多填题)(2020·河南顶级名校联考改编)设椭圆2＋2＝1(a>b>0)长轴的端点分别为A，B. ab点C为椭圆上异于A，B的一点，若将△ABC的三内角记为A，B，C，且满足3tan A＋3tan B＋tan C＝0，则tan A·tan B的值为________，椭圆的离心率为________. 解析 法一 ∵3tan A＋3tan B＋tan C＝0， ∴3tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan C＝0， ∴－3tan C(1－tan Atan B)＋tan C＝0. 2 ∵tan C≠0，∴tan Atan B＝. 3 x2y2 设C(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则2＋2＝1. ab2yy2 ∵tan Atan B＝，∴－·＝， 3x＋ax－a3－y2y2 ∴22＝，∴2＝， x－a3a23 2 2 b2 yb22a2－c223∴2＝，∴2＝，∴e＝. a3a33 法二 设点C(0，b)，则有tan A＝tan B＝，由A＋B＋C＝π得，tan C＝－tan(A＋B)＝－tan A＋tan B＝1－tan A·tan B2b－ baa1－??6b2ab6bb2 A＋tan B)＝－，因此可得22＝－，即6(b2－a2)＝－2a2，∴3b2＝2a2，∴2＝，即tan ab－aaa32 A·tan B＝，该椭圆的离心率e＝323答案 33 2 ?b??a? 2 ＝ 2ab，又知3tan A＋3tan B＋tan C＝0，所以tan C＝－3·(tan b－a2 2 b21－2＝a231－＝. 33
2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第5节椭圆第2课时直线与椭圆的位置关系教学案含解析新人教A版
