y=kx,??222由?xy得x=±. 2
+=11+2k??42
设u=
21+2k2
,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).
于是直线QG的斜率为,方程为y=(x-u).
22
kkky=(x-u),??2由?
xy??4+2=1
2
2
得(2+k)x-2ukx+ku-8=0.① 设G(xG,yG),则-u和xG是方程①的解,
22222
u(3k2+2)uk3故xG=,由此得yG=22.
2+k2+kuk3
2-uk2+k1
从而直线PG的斜率为=-. 2
u(3k+2)k-u2
2+k所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.
2ukk+1
②解 由①得|PQ|=2u1+k,|PG|=, 2
2+k2
2
所以△PQG的面积 12
8k(1+k)?k?
=222. (1+2k)(2+k)
?1?1+2?+k?
2
?1?8?+k??kS=|PQ||PG|=
?
1
设t=k+,
k则由k>0得t≥2,当且仅当k=1时取等号. 8t因为S=2在[2,+∞)单调递减,
1+2t所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为16
因此,△PQG面积的最大值为.
9规律方法 最值与范围问题的解题思路
1.构造关于所求量的函数,通过求函数的值域来获得问题的解.
2.构造关于所求量的不等式,通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中,一定要深刻挖掘题目中的隐含条件,如判别式大于零等.
16. 9
x2y2
【训练3】 (2020·长沙质检)已知P点坐标为(0,-2),点A,B分别为椭圆E:2+2=1(a>b>0)
ab→3→
的左、右顶点,直线BP交E于点Q,△ABP是等腰直角三角形,且PQ=QB.
2(1)求椭圆E的方程;
(2)设过点P的动直线l与E相交于M,N两点,当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时,求直线l斜率的取值范围.
解 (1)由△ABP是等腰直角三角形,得a=2,B(2,0). →3→
设Q(x0,y0),则由PQ=QB,得
2代入椭圆方程得b=1, 所以椭圆E的方程为+y=1.
4
(2)依题意得,直线l的斜率存在,方程设为y=kx-2.
2
??
?4
??y=-5,
x0=,0
6
5
x2
2
y=kx-2,??2
联立?x 2
+y=1,??4
消去y并整理得(1+4k)x-16kx+12=0.(*)
因直线l与E有两个交点,即方程(*)有不等的两实根,
2223
故Δ=(-16k)-48(1+4k)>0,解得k>.
4
2
2
设M(x1,y1),N(x2,y2),
16kx+x=,??1+4k由根与系数的关系得?
12
??xx=1+4k,
1
2
212
2
因坐标原点O位于以MN为直径的圆外, →→
所以OM·ON>0,即x1x2+y1y2>0, 又由x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-2)(kx2-2) =(1+k)x1x2-2k(x1+x2)+4
1216k2
=(1+k)·2-2k·2+4>0,
1+4k1+4k322
解得k<4,综上可得 4 2 则 33 则满足条件的斜率k的取值范围为?-2,- ? ?3??3??∪?,2?. 2??2? A级 基础巩固 一、选择题 1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为( ) 94A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 x2y2 解析 直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交. 答案 A 2.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A, B两点,且|AB|=3,则C的方程为( ) A.+y=1 2C.+=1 43 x2 2 B.+=1 33D.+=1 54 x2y2x2y2 x2y2 x2y2 解析 设椭圆C的方程为2+2=1(a>b>0),则c=1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交 abb232222222 于A,B两点,且|AB|=3,所以=,b=a-c,所以a=4,b=a-c=4-1=3,椭圆的 a2 方程为+=1. 43答案 C x2y2 x2y22 3.(2019·郑州模拟)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,ab3 过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为12,则C的方程为( ) A.+y=1 3C.+=1 94 x2 2 B.+=1 32D.+=1 95 x2y2x2y2 x2y2 c222解析 由题意可得=,4a=12,解得a=3,c=2,则b=3-2=5,所以椭圆C的方程 a3 为+=1. 95答案 D x2y2 x2y2 4.已知椭圆2+2=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4, ab1),则椭圆的离心率是( ) 1A. 2 B.2 2 C.3 2 D.5 5 b2 解析 设直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程,由点差法可知yM=-2 akb1 xM,代入k=1,M(-4,1),解得2=,e= a4 答案 C 5.(2020·皖北名校联考)斜率为1的直线l与椭圆+y=1相交于A,B两点,则|AB|的最大 4值为( ) A.45 5 410B. 5 C.810 5 D.85 5 2 1-??= a?b??? 2 3 ,故选C. 2 x2 2 y=x+m,??2 解析 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线的方程为y=x+m,由?x2 +y=1,??4 消去y得5x+8mx+4(m-1)=0, 8m4(m-1) 则x1+x2=-,x1x2=. 55∴|AB|=1+k|x1-x2| =1+k·(x1+x2)-4x1x2 2 2 22 2 2 =2·= ?-8m?-16(m-1) ?5?5?? 2 2 422 ·5-m, 5 410 ∴当m=0时,|AB|取得最大值,故选B. 5答案 B 二、填空题 x2y2 6.已知椭圆C:2+2=1(a>b>0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的 ab标准方程为________. 解析 椭圆长轴长为6,即2a=6,得a=3, ∵两焦点恰好将长轴三等分, 1 ∴2c=·2a=2,得c=1, 3因此,b=a-c=9-1=8, 所以此椭圆的标准方程为+=1. 98答案 2 2 2 x2y2 x2y2 9 +=1 8 x2y2 7.(2019·成都诊断)已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,上顶点为C,若△ABCab是底角为30°的等腰三角形,则=________. 解析 由题意知∠CAB=30°,∴tan 30°==cbba3, 3 ∴=答案 cba-b=b22 22 ?a?-1=3-1=2. ?b??? 2 8.(2020·衡水调研)与椭圆+y=1有相同的焦点且与直线l:x-y+3=0相切的椭圆的离 2心率为________. x2 2 x2y2 解析 因为所求椭圆与椭圆+y=1有相同的焦点,所以可设所求椭圆的方程为2+2= 2aa-1x2y2??2+2=1,22224 1(a>1),联立方程组?aa-1?(2a-1)x+6ax+10a-a=0, ??y=x+3 2 x2 因为直线l与椭圆相切,所以Δ=36a-4(2a-1)(10a-a)=0, 化简得a-6a+5=0,即a=5或a=1(舍). 则a=5.又c=1,所以e==5 5 4 2 2 2 4224 ca15 = 5. 5 答案 三、解答题 9.已知椭圆+y=1. 2 (1)过A(2,1)的直线l与椭圆相交,求l被截得的弦的中点轨迹方程; x2 2 ?11?(2)求过点P?,?且被P点平分的弦所在直线的方程. ?22? 解 (1)设弦的端点为P(x1,y1),Q(x2,y2),其中点是M(x,y),则x2+x1=2x,y2+y1=2y,由于点P,Q在椭圆上,则有:
2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第5节椭圆第2课时直线与椭圆的位置关系教学案含解析新人教A版
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