y＝kx，??222由?xy得x＝±. 2
＋＝11＋2k??42
设u＝
21＋2k2
，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u，0).
于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u).
22
kkky＝（x－u），??2由?
xy??4＋2＝1
2
2
得(2＋k)x－2ukx＋ku－8＝0.① 设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解，
22222
u（3k2＋2）uk3故xG＝，由此得yG＝22.
2＋k2＋kuk3
2－uk2＋k1
从而直线PG的斜率为＝－. 2
u（3k＋2）k－u2
2＋k所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形.
2ukk＋1
②解 由①得|PQ|＝2u1＋k，|PG|＝， 2
2＋k2
2
所以△PQG的面积 12
8k（1＋k）?k?
＝222. （1＋2k）（2＋k）
?1?1＋2?＋k?
2
?1?8?＋k??kS＝|PQ||PG|＝
?
1
设t＝k＋，
k则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号. 8t因为S＝2在[2，＋∞)单调递减，
1＋2t所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为16
因此，△PQG面积的最大值为.
9规律方法 最值与范围问题的解题思路
1.构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解.
2.构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.
16. 9
x2y2
【训练3】 (2020·长沙质检)已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)
ab→3→
的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且PQ＝QB.
2(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
解 (1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0). →3→
设Q(x0，y0)，则由PQ＝QB，得
2代入椭圆方程得b＝1， 所以椭圆E的方程为＋y＝1.
4
(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.
2
??
?4
??y＝－5，
x0＝，0
6
5
x2
2
y＝kx－2，??2
联立?x 2
＋y＝1，??4
消去y并整理得(1＋4k)x－16kx＋12＝0.(*)
因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，
2223
故Δ＝(－16k)－48(1＋4k)>0，解得k>.
4
2
2
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
16kx＋x＝，??1＋4k由根与系数的关系得?
12
??xx＝1＋4k，
1
2
212
2
因坐标原点O位于以MN为直径的圆外， →→
所以OM·ON>0，即x1x2＋y1y2>0， 又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2) ＝(1＋k)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
1216k2
＝(1＋k)·2－2k·2＋4>0，
1＋4k1＋4k322
解得k<4，综上可得 4 2 则 33 则满足条件的斜率k的取值范围为?－2，－ ? ?3??3??∪?，2?. 2??2? A级 基础巩固 一、选择题 1.直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( ) 94A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 x2y2 解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交. 答案 A 2.已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A， B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( ) A.＋y＝1 2C.＋＝1 43 x2 2 B.＋＝1 33D.＋＝1 54 x2y2x2y2 x2y2 x2y2 解析 设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交 abb232222222 于A，B两点，且|AB|＝3，所以＝，b＝a－c，所以a＝4，b＝a－c＝4－1＝3，椭圆的 a2 方程为＋＝1. 43答案 C x2y2 x2y22 3.(2019·郑州模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，ab3 过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为( ) A.＋y＝1 3C.＋＝1 94 x2 2 B.＋＝1 32D.＋＝1 95 x2y2x2y2 x2y2 c222解析 由题意可得＝，4a＝12，解得a＝3，c＝2，则b＝3－2＝5，所以椭圆C的方程 a3 为＋＝1. 95答案 D x2y2 x2y2 4.已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4， ab1)，则椭圆的离心率是( ) 1A. 2 B.2 2 C.3 2 D.5 5 b2 解析 设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－2 akb1 xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得2＝，e＝ a4 答案 C 5.(2020·皖北名校联考)斜率为1的直线l与椭圆＋y＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大 4值为( ) A.45 5 410B. 5 C.810 5 D.85 5 2 1－??＝ a?b??? 2 3 ，故选C. 2 x2 2 y＝x＋m，??2 解析 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线的方程为y＝x＋m，由?x2 ＋y＝1，??4 消去y得5x＋8mx＋4(m－1)＝0， 8m4（m－1） 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 55∴|AB|＝1＋k|x1－x2| ＝1＋k·（x1＋x2）－4x1x2 2 2 22 2 2 ＝2·＝ ?－8m?－16（m－1） ?5?5?? 2 2 422 ·5－m， 5 410 ∴当m＝0时，|AB|取得最大值，故选B. 5答案 B 二、填空题 x2y2 6.已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的 ab标准方程为________. 解析 椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3， ∵两焦点恰好将长轴三等分， 1 ∴2c＝·2a＝2，得c＝1， 3因此，b＝a－c＝9－1＝8， 所以此椭圆的标准方程为＋＝1. 98答案 2 2 2 x2y2 x2y2 9 ＋＝1 8 x2y2 7.(2019·成都诊断)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，上顶点为C，若△ABCab是底角为30°的等腰三角形，则＝________. 解析 由题意知∠CAB＝30°，∴tan 30°＝＝cbba3， 3 ∴＝答案 cba－b＝b22 22 ?a?－1＝3－1＝2. ?b??? 2 8.(2020·衡水调研)与椭圆＋y＝1有相同的焦点且与直线l：x－y＋3＝0相切的椭圆的离 2心率为________. x2 2 x2y2 解析 因为所求椭圆与椭圆＋y＝1有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为2＋2＝ 2aa－1x2y2??2＋2＝1，22224 1(a>1)，联立方程组?aa－1?(2a－1)x＋6ax＋10a－a＝0， ??y＝x＋3 2 x2 因为直线l与椭圆相切，所以Δ＝36a－4(2a－1)(10a－a)＝0， 化简得a－6a＋5＝0，即a＝5或a＝1(舍). 则a＝5.又c＝1，所以e＝＝5 5 4 2 2 2 4224 ca15 ＝ 5. 5 答案 三、解答题 9.已知椭圆＋y＝1. 2 (1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程； x2 2 ?11?(2)求过点P?，?且被P点平分的弦所在直线的方程. ?22? 解 (1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y)，则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于点P，Q在椭圆上，则有：
2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第5节椭圆第2课时直线与椭圆的位置关系教学案含解析新人教A版
