第二课时 直线与椭圆的位置关系
考点一 直线与椭圆的位置关系
【例1】 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
42(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
x2y2
y＝2x＋m， ①??22
得方程组?xy
＋＝1， ②??42
将①代入②，整理得9x＋8mx＋2m－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)－4×9×(2m－4)＝－8m＋144.
(1)当Δ>0，即－32 (2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. (3)当Δ<0，即m<－32或m>32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点. 规律方法 研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点. 2 2 2 2 2 x2y2 【训练1】 (一题多解)若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( ) 5mA.m>1 C.0 D.m≥1且m≠5 B.m>0 解析 法一 由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上， 1 则0<≤1且m≠5， m故m≥1且m≠5. 法二 由? ?y＝kx＋1，? 2 2 ??mx＋5y－5m＝0， 2 2 消去y整理得(5k＋m)x＋10kx＋5(1－m)＝0. 由题意知Δ＝100k－20(1－m)(5k＋m)≥0对一切k∈R恒成立， 即5mk＋m－m≥0对一切k∈R恒成立， 由于m>0且m≠5，∴m≥1－5k恒成立， ∴m≥1且m≠5. 答案 D 考点二 中点弦及弦长问题 角度1 中点弦问题 【例2－1】 (一题多解)已知P(1，1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被 42 多维探究 2 2 2 2 2 x2y2 P点平分，则此弦所在的直线方程为________. 解析 法一 易知此弦所在直线的斜率存在， ∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2， y2). y－1＝k（x－1），??22由?xy ＋＝1??42 消去y得，(2k＋1)x－4k(k－1)x＋2(k－2k－1)＝0， 4k（k－1）∴x1＋x2＝， 22k＋1 4k（k－1）1 又∵x1＋x2＝2，∴＝2，解得k＝－. 22k＋121 经检验，k＝－满足题意. 2 1 故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)， 2即x＋2y－3＝0. 法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k， 弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点， 2 2 2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，① 42 x2y211 x2y222 4 ＋＝1，② 2 （x1＋x2）（x1－x2）（y1＋y2）（y1－y2） ①－②得＋＝0， 42∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴ x1－x2 2 ＋y1－y2＝0， ∴k＝ y1－y21 ＝－. x1－x22 1 经检验，k＝－满足题意. 2 1 ∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)， 2即x＋2y－3＝0. 答案 x＋2y－3＝0 规律方法 弦及弦中点问题的解决方法 (1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率. 角度2 弦长问题 x2y2 【例2－2】 (2020·黄山一模)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心 ab1 率e＝，点P是椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值是43. 2(1)求椭圆的方程； →→→→ (2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四点，AC与BD相交于点F1，AC·BD＝0，且|AC|＋|BD|96 ＝，求此时直线AC的方程. 7 解 (1)由题意知，当点P是椭圆上(或下)顶点时，△PF1F2的面积取得最大值. 1 此时，S△PF1F2＝·2c·b＝43， 2 c1222 又e＝＝，a＝b＋c， a2 解得a＝4，b＝23，故所求椭圆的方程为＋＝1. 1612→→ (2)由(1)知F1(－2，0)，由AC·BD＝0得AC⊥BD. ①当直线AC与BD中有一条直线的斜率不存在时， x2y2 →→ |AC|＋|BD|＝14，不合题意. ②当直线AC的斜率存在且为k(k不为0)时， 其方程为y＝k(x＋2). y＝k（x＋2），??2由?x消去y得 y2 ＋＝1??1612 (3＋4k)x＋16kx＋16k－48＝0. 16k16k－48设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝2. 3＋4k3＋4k24（1＋k）→2 所以|AC|＝1＋k|x1－x2|＝. 2 3＋4k124（1＋k）→ 直线BD的方程为y＝－(x＋2)，同理可得|BD|＝. 2 k4＋3k→→ 由|AC|＋|BD|＝ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 168（1＋k）96 ＝， 22 （4＋3k）（3＋4k）7 22 解得k＝1，则k＝±1. 故所求直线AC的方程为x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0. 规律方法 弦长问题的求解方法有：(1)求出两交点坐标，用两点间距离公式求解；(2)用弦长公式：|AB|＝1＋k|x1－x2|或|AB|＝率，A(x1，y1)，B(x2，y2). 注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点. 【训练2】 (1)(角度1)(2019·长春二检)椭圆4x＋9y＝144内有一点P(3，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( ) 2A.－ 3 3B.－ 2 4C.－ 9 9D.－ 4 2 2 2 1 1＋2|y1－y2|(k≠0)求解，其中k为直线AB的斜 k(2)(角度2)(一题多解)已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F，与椭圆相交于A， 54 x2y2 B两点，则弦AB的长为________. 解析 (1)设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x1＋9y1＝144，4x2＋9y2＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4， 2 2 2 2 y1－y22 ＝k，代入解得k＝－. x1－x23 (2)法一 由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)， y＝2（x－1），??22 2 由?xy消去y，得3x－5x＝0， ＋＝1??54 ?54?故得A(0，－2)，B?，?，则 ?33? |AB|＝?0－5?＋?－2－4?＝55. ?3??3?3???? 22 法二 由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)， y＝2（x－1），??22 2 由?xy消去y得3x－5x＝0， ＋＝1??54 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 5 则x1＋x2＝，x1x2＝0， 3 则|AB|＝（x1－x2）＋（y1－y2） ＝（1＋k）[（x1＋x2）－4x1x2] ＝ 222 2 ?5??55 （1＋2）???3?－4×0?＝3. ???? 2 2 55 答案 (1)A (2) 3 考点三 直线与椭圆的综合问题 【例3】 (2019·全国Ⅱ卷)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的1 斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C. 2(1)求C的方程，并说明C是什么曲线. (2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G. ①证明：△PQG是直角三角形； ②求△PQG面积的最大值. (1)解 由题设得 y1·＝－， x＋2x－22 y化简得＋＝1(|x|≠2)， 42 所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左、右顶点. (2)①证明 设直线PQ的斜率为k， 则其方程为y＝kx(k>0). x2y2
2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第5节椭圆第2课时直线与椭圆的位置关系教学案含解析新人教A版
