浮山中学2019-2020学年第二学期期中测试（开学）
高二数学试题（理科）
试卷分值：150分 考试时间 120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A，B，C，D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号填涂到答题卡相应位置. 1．若复数z满足(1?2i)z?5，则复数z在复平面上的对应点在第( )象限
A.一 B.二 C.三 D.四 2．我们从这个商标A．C．3．已知函数间是（ ） A．（﹣∞，﹣1]
B．[﹣1，+∞）
C．（﹣3，﹣1] D．[﹣1，1）
，则（ ）
中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
B．D．
，若f（0）＜0，则此函数的单调减区
4．已知正实数a，b，c满足：
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
3C．b＜c＜a D．c＜a＜b
5．已知f?x?=sinx?x?1,x???2?,2??，若f?x?的最大值为M，f?x?的最小值为N，则M+N等于（ ） A．0
B．2
C．4?
D．8?3
6．已知函数f（x）＝
，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+m﹣1＝0恰有3个不同的实数
解，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（1﹣，+∞） C．（1，e） D．（1﹣，1） 7．已知y＝f（x+2）是奇函数，若函数g（x）＝f（x）﹣x2，…，xk，则x1+x2+…+xk＝（ ）
有k个不同的零点，记为x1，
A．0
8．已知函数f（x）＝sin
B．k
cosωx﹣
C．2k （ω＞0）在[0，
D．4k
]上有且仅有三个零点，则ω
的取值范围是（ ） A．（
，
）
B．[
，
]
C．[4，
]
D．[4，
）
9．已知函数，若对任意两个不相等的正数x1，x2，都有
恒成立，则a的取值范围为（ ） A．[4，+∞）
B．（4，+∞）
C．（﹣∞，4]
D．（﹣∞，4）
10．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）ex，若方程f（x）＝a有3个不同的实根x1，x2，x3（x1＜x2
＜x3），则
的取值范围是（ ）
A．（，0 ） B．（，0） C．（，） D．（0，）
11．函数f?x??2xlnx?x?ax?3恰有一个零点，则实数a的值为（ ）
2A．4 B．3
C．6
D．3 12. 设函数f'(x)是函数f(x)(x?R)的导函数，当x?0时，f'(x)?3f(x)<0,则函数xg(x)?f(x)?A. 3
1的零点个数为（ ） x3 D.0
B.2 C.1
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知f(x)?x,x?0，若f1(x)?f(x),fn?1(x)?f(fn(x)),n?N?，则f2014(x)的表1?x达式为________．
14.已知奇函数y?f(x)(x?R)满足：对一切x?R,f?1?x??f?1?x?，且x??0,1?时，
f(x)?ex?1,则f[f(2019)]? .
15.已知x1是函数f?x??2?x?2的零点，x2是函数g?x??log2?x?1??x?3的零点，则
xx1?x2的值为__________
16..已知函数f（x）＝2x﹣a，g（x）＝1+x3，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出说明文字、演算式。 17.(10分)若f(x)?cosx?sinx在[?a,a]是减函数，求a的最大值。
18.（12分） 设函数f(x)=x3?1，x?[0,1]．证明： 1?x332(1)f(x)≥1?x?x； (2)?f(x)≤．
42
19．（12分）已知函数f（x）＝
．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（m，2）（m＞0）处的切线方程为y＝﹣x+3，求f（x）的单调区间．
（Ⅱ）若方程f（x）﹣1＝0在x∈（，e]上有两个实数根，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）＝2lnx+ax，g（x）＝x2+1﹣2f（x） （1）讨论函数f（x）在[4，+∞）上的单调性；
（2）若a＞0，当x∈（1，+∞）时，g（x）≥0，且g（x）有唯一零点，证明：a＜1．
21．(本小题12分)
如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B以及CD的中点P处，已知AB=20km，CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD内(含边界)，且与A，B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm． (I)设?BAO??，将y表示成?的函数关系式；
(II)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最短，并求出最短值．
22．(本小题12分)已知函数：f?x??12x?alnx?a,g?x??ex?x?1 2(I)当x??1,e?时，求f?x?的最小值；
(II)对于任意的x1??0,1?都存在唯一的x2??1,e?使得g?x1??f?x2?，求实数a的取值范围．
高二数学试题（理科）参考答案
一．选择题：
题号 答案
1 A 2 D 3 C 4 B 5 B 6 D 7 C 8 D 9 A 10 B 11 A 12 D 二．填空题： 13．
三、解答题
17（10分）解法一f(x)?cosx?sinx?x3?e 14. 1?e 15.3 16.[﹣1，1]
1?2014xπ2cos(x?)，且函数y?cosx在区间
4??3?． [0,?]上单调递减，则由0≤x?≤?，得?≤x≤444???a≥????4因为f(x)在[?a,a]上是减函数，所以?，解得a≤，
4?a≤3???4所以a的最大值是
?， 4解法二 因为f(x)?cosx?sinx，所以f?(x)??sinx?cosx， 则由题意，知f?(x)??sinx?cosx≤0在[?a,a]上恒成立，
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