7?7??z1?22?cos?isin44? ∴ argz1???， ?7?，z1?22． ……6分 4 （Ⅱ）设z = cos α＋i sin α，则
z－z1 = ( cos α－2)＋(sin α＋2) i，
z?z1??cos??2???sin??2?
222
?9?42sin(???4)， ……9分
当sin(???4) = 1时，z?z12取得最大值9?42．
从而得到z?z1的最大值为22?1． ……12分
（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分． 证明一：因为抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F (
p，0)，所以经过点F的直线的方程可设为 2x?my?代入抛物线方程得
p； ……4分 2y2 －2pmy－p2 = 0，
若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以
y1y2 = －p2． ……8分
因为BC∥x轴，且点c在准线x = －故直线CO的斜率为
p上，所以点c的坐标2为（－
p，y2），2k?y22py1??． py1x1?2即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O． ……12分
证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足．则
AD∥FE∥BC． ……2分
连结AC，与EF相交于点N，则
ENADNFBC?CNACAFAB?BFAB，
? ……6分 ，根据抛物线的几何性质，AF?AD，
BF?BC， ……8分
∴ EN?AD?BFAB?AF?BCAB?NF，
即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O． ……12分 （20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分． （Ⅰ）证明： 对于1＜i≤m有
i pm= m·…·(m－i＋1)，
ipmmm?1m?i?1???…， ?immmmipnnn?1n?i?1?…? 同理 i??， ……4分
nnnn 由于 m＜n，对整数k = 1，2…，i－1，有
n?km?k， ?nmiipnpmiiii所以 i?i，即mpn?npm． ……6分
nm（Ⅱ）证明由二项式定理有
?1?m?ni??miCn， i?0n ?1?n??miiii由 (Ⅰ)知mpn＞npm(1＜i≤m＜n＝，
?nCii?0mim， ……8分
iipmpni而 C?，Cn?， ……10分
i!i!imiiii所以， mCn?nCm(1＜i≤m＜n＝．
因此，
?mCii?2mini??niCm． i?2m000011ii又 mCn?nCm?1，mCn?nCm?mn，mCn?0?m?i?n?．
∴
?mCii?0nini??niCm． i?0m即 (1＋m)n＞(1＋n)m． ……12分
（21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－
1）万元，……，第n年投入为800×5（1－
1n－1
）万元． 511－
）＋…＋800×（1－）n1 55所以，n年内的总投入为
an = 800＋800×（1－
1??800?(1?)k?1
5k?1n4n
)]； ……3分 51第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋）万元，……，第n年旅游业收
41－
入为400×（1＋）n1万元．
4
= 4000×[1－(
所以，n年内的旅游业总收入为
bn = 400＋400×（1＋
11－
）＋…＋400×（1＋）n1 44
5??400?()k?1
4k?1n
= 1600×[ (
4n
)－1]． ……6分 5bn－an＞0，
（Ⅱ）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此
即 1600×[（
5n 4）－1]－4000×[1－（）n]＞0． 4544化简得 5×（）n＋2×（）n －7＞0， ……9分
55
设x?（
4n
），代入上式得 55x2－7x＋2＞0，
解此不等式，得
2，x＞1(舍去)． 542即 （）n＜，
55x?由此得 n≥5．
答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分
（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．
（Ⅰ）解：因为对x1，x2∈[0，
f(x)?f (
1]，都有f (x1＋x2) = f (x1) · f (x2)，所以 2xx) · f ()≥0，x∈[0，1]． 2211111∵ f(1)?f (?) = f () · f () = [f ()]2，
22222111111 f ()?f (?) = f () · f () = [f ()]2． ……3分
442444f(1)?a?0，
11∴ f ()?a2，f ()?a4． ……6分
24（Ⅱ）证明：依题设y = f (x)关于直线x = 1对称， 故 f (x) = f (1＋1－x)，
即f (x) = f (2－x)，x∈R． ……8分 又由f (x)是偶函数知f (－x) = f (x) ，x∈R， ∴ f (－x) = f (2－x) ，x∈R， 将上式中－x以x代换，得
f (x) = f (x＋2)，x∈R．
这表明f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x)≥0，x∈[0，1]． ∵ f (
111111)= f (n ·) = f (＋（n－1）·)
2n2n2n2
= f (
12n) · f (（n－1）·12n) = f (112n) · f (2n) · … ·f (12n)
= [ f (1n
2n)]，
1 f (12) = a2，
1∴ f (1) = a2n2n．
∵ f (x)的一个周期是2，
1∴ f (2n＋12n) = f (12n)，因此an = a2n，∴ lim1n???lnan??limn??(
2nlna) = 0．
……12分
14分 ……
2001年高考数学(全国卷)
