函数解析式的表示形式及五种确定方式
函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。
一、解析式的表达形式
解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例
一次函数：y?kx?b (k?0) 二次函数：y?ax?bx?c (a?0) 反比例函数：y?2k (k?0) x正比例函数：y?kx (k?0)
2、分段式
若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。
?2?x,x????,1?1例1、设函数f(x)??，则满足f(x)?的x的值
4??logx,x?1,???81为 。
1得，x?2，与x?1矛盾； 41 当x??1,???时，由log81x?得，x?3。
4∴ x?3
解：当x????,1?时，由2?x?3、复合式
若y是u的函数，u又是x的函数，即y?f(u),u?g(x),x?(a,b)，那么y关于x的函数y?f?g(x)?,x??a,b?叫做f和g的复合函数。
g?f(x)?? 。例2、已知f(x)?2x?1,g(x)?x?3，则f?g(x)?? ，
2解：f?g(x)??2g(x)?1?2(x?3)?1?2x?7
2222 g?f(x)???f(x)??3?(2x?1)?3?4x?4x?4
2二、解析式的求法
根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。
1待定系数法
若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。
例3、已知二次函数y?f(x)满足f(x?2)?f(?x?2),且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为22，求函数y?f(x)的解析式。
分析：二次函数的解析式有三种形式： ① 一般式：f(x)?ax?bx?c② 顶点式：f(x)?a(x?h)?k22(a?0)
其中a?0,点?h,k?为函数的顶点
③ 双根式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)解法1：设f(x)?ax?bx?c2其中a?0,x1与x2是方程f(x)?0的两根
(a?0)，则
由y轴上的截距为1知：f(0)?1，即c=1 ①
∴ f(x)?ax?bx?1
由f(x?2)?f(?x?2)知：a(x?2)?b(x?2)?1?a(?x?2)?b(?x?2)?1 整理得：(4a?b)x?0, 即： 4a?b?0 ② 由被x轴截得的线段长为22知，|x1?x2|?22，
2即(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?8. 得:(?)?42222222ba1?8. a整理得： b?4a?8a ③ 由②③得： a?11,b?2, ∴ f(x)?x2?2x?1. 22解法2：由f(x?2)?f(?x?2)知：二次函数对称轴为x??2，所以设
f(x)?a(x?2)2?k(a?0)；以下从略。
解法3：由f(x?2)?f(?x?2)知：二次函数对称轴为x??2；由被x轴截得的线段长为22知，|x1?x2|?22；
易知函数与x轴的两交点为
??2?2,0,?2?2,0???，所以设
f(x)?a(x?2?2)(x?2?2)2、换元法 例4、已知：f(1?(a?0)，以下从略。
11)?2?1，求f(x)。 xx解：设t?1?11，则t?1，x?，代入已知得 xt?1 f(t)?1?1???t?1??2?1?(t?1)2?1?t2?2t
∴ f(x)?x?2x2(x?1)
注意：使用换元法要注意t的范围限制，这是一个极易忽略的地方。
3、配凑法
1，求f(x)。 2x11122解： f(x?)?x?2?(x?)?2
xxx例5、已知：f(x?)?x?21x∴ f(x)?x?22(x?2或x??2)
注意：1、使用配凑法也要注意自变量的范围限制；
2、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑法求解析式。
4、赋值（式）法
例6、已知函数f(x)对于一切实数x,y都有f(x?y)?f(y)?(x?2y?1)x成立，且f(1)?0。
(1)求f(0)的值； (2)求f(x)的解析式。
解：（1） 取x?1,y?0，则有 f(1?0)?f(0)?(1?0?1)1
?f(0)?f(1)?2?0?2??2
（2）取y?0，则有f(x?0)?f(0)?(x?0?1)x. 整理得：f(x)?x?x?2 5、方程法
例7、已知：2f(x)?f???3x,2?1??x?(x?0)，求f(x)。
解：已知：2f(x)?f???3x,?1??x?①
113去代换①中的x得 :2f()?f(x)? ② xxx1由①×2－②得：f(x)?2x?(x?0).
x用
高中数学函数解析式求法
