证法二：
在三棱台DEF?ABC中， 由BC?2EF,H为BC的中点 可得BH//EF,BH?EF, 所以四边形BHFE为平行四边形 可得BE//HF
在?ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点， 所以GH//AB
又GH?HF?H，所以平面FGH//平面ABED 因为BD?平面ABED 所以BD//平面FGH （Ⅱ）解法一： 设AB?2，则CF?1 在三棱台DEF?ABC中，
G为AC的中点
由DF?1AC?GC， 2可得四边形DGCF为平行四边形， 因此DG//CF 又FC?平面ABC 所以DG?平面ABC
在?ABC中，由AB?BC,?BAC?45，G是AC中点， 所以AB?BC,GB?GC 因此GB,GC,GD两两垂直,
以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G?xyz
o
所以G?0,0,0?,B?2,0,0,C0,2,0,D?0,0,1?
????22?可得H??2,2,0??,F0,2,1
????uuur?22?uuur故GH???2,2,0??,GF?0,2,1
??r设n??x,y,z?是平面FGH的一个法向量，则 ruuurx?y?0n?GH?0,r由{ruuu可得{
2y?z?0n?GF?0,r可得平面FGH的一个法向量n?1,?1,2
uuuruuur因为GB是平面ACFD的一个法向量，GB?2,0,0
uuurruuurrGB?n21cosGB,n???uuur所以 rGB?n222??????所以平面与平面所成的解（锐角）的大小为60o 解法二：
作HM?AC于点M，作MN?GF于点N，连接NH 由FC?平面ABC，得HM?FC 又FC?AC?C 所以HM?平面ACFD 因此GF?NH
所以?MNH即为所求的角
在?BGC中,MH//BG,MH?由?GNM∽?GCF 可得
12BG?, 22MNGM?, FCGF6 6从而MN?由MH?平面ACFD,MN?平面ACFD 得MH?MN, 因此tan?MNH?HM?3 MN所以?MNH?60o
所以平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60o.
考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用.
22．：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）16 【解析】 【分析】 【详解】
（Ⅰ）证明：因为DE?EF,CF?EF，所以四边形平面CDEF为矩形， 由GD?5,DE?4，GC?42,CF?4
得GE?GD2?CF2?3GF?GC2?CF2?4， 所以EF?5，在VEFG中 ，
有EF2?GE2?FG2，所以EG?GF又因为CF?EF,CF?FG，
得CF?平面EFG， 所以CF?EG，所以EG?平面CFG，即平面DEG?平面
CFG;
（Ⅱ）：在平面EGF中，过点G作GH?EF于点H， 则GH?EG?GF12? EF5因为平面CDEF?平面EFG， 得GH?平面CDEF，VCDEF?1SCDEF?GH?16 3
23．（1）证明见解析（2）?【解析】 【分析】
2 6（1）由BC⊥AC，BC⊥CD得BC⊥平面ACD，证明四边形DCBE是平行四边形得DE∥BC，故而DE?平面ACD，从而得证面面垂直；
（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小. 【详解】
（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC， ∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC， ∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C， ∴BC⊥平面ACD， ∵DC∥EB，DC＝EB，
∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC， ∴DE⊥平面ACD， 又DE?平面ADE， ∴平面ACD⊥平面ADE.
（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝22，
以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
则D（0，0，1），E（0，22，1），A（22，0，0），B（0，22，0），
uuuruuuruuuruuur∴AB?（﹣22，22，0），BE?（0，0，1），DE?（0，22，0），DA?（22，0，﹣1），
设平面DAE的法向量为m?（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为n?（x2，y2，z2），
rrvvruuuruuu??m?DA?0?n?AB?0?22x1?z1?0???22x2?22y2?0vv则?ruuu，?ruuu，即?，?，
z?0m?DE?0n?BE?0?????2?22y1?0rr令x1＝1得m?（1，0，22），令x2＝1得n?（1，1，0）.
rrm?n12rr?. ∴cos
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题. 24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）取PD中点G，连接AG、FG，由题意结合中位线性质可得FG//AE且
FG?AE，即可得四边形FGAE为平行四边形，进而可得FE//AG，再由线面平行的判定即可得证；
（Ⅱ）由线面垂直的性质和正方形的性质可得DO?平面PAC，进而可得DO?AF，由平面几何知识可得AF?PO，再由线面垂直的判定即可得证. 【详解】
（Ⅰ）证明：取PD中点G，连接AG、FG，
QE，F分别为AB，PC的中点，底面ABCD为正方形
11?FG//CD且FG?CD，AE//CD且AE?CD，
22?FG//AE且FG?AE，?四边形FGAE为平行四边形， ?FE//AG,
又FE?平面PAD，AG?平面PAD， ?EF//平面PAD.
（Ⅱ）证明：Q底面ABCD为正方形，PA?平面ABCD，
2024-2024下海控江中学高一数学下期中试题(附答案)
