初中数学竞赛辅导资料
配方法
甲内容提要
1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2±2ab+b2写成完全平方式
（a±b）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式. 常用的有以下三种：
①由a2+b2配上2ab， ②由2 ab配上a2+b2， ③由a2±2ab配上b2. 2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：
① 用完全平方式来因式分解
例如：把x4+4 因式分解.
原式＝x4+4＋4x2－4x2=(x2+2)2－4x2＝…… 这是由a2+b2配上2ab.
② 二次根式化简常用公式：a?a，这就需要把被开方数写成完全平方式.
例如：化简5?26.
我们把5－26写成 2－223＋3
22＝(2)－223＋(3)
2＝（2－3）2.
这是由2 ab配上a2+b2.
③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.
即∵a2≥0， ∴当a=0时， a2的值为0是最小值. 例如：求代数式a2+2a－2 的最值. ∵a2+2a－2= a2+2a+1－3=(a+1)2－3
当a=－1时, a2+2a－2有最小值－3. 这是由a2±2ab配上b2
④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需
要配方.
例如:：求方程x2+y2+2x-4y+5=0 的解x, y. 解：方程x2+y2+2x-4y+1＋4＝0.
配方的可化为 （x+1）2+(y－2)2=0. 要使等式成立，必须且只需??x?1?0.
?y?2?0?x??1解得 ?
y?2?此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识
和技巧.
乙例题
例1. 因式分解：a2b2－a2+4ab－b2+1.
解：a2b2－a2+4ab－b2+1＝a2b2+2ab+1+(－a2+2ab－b2) （折项，分组）
＝（ab+1）2－(a－b)2 （配方）
＝（ab+1+a-b）(ab+1-a+b) （用平方差公式分解）
本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想. 例2. 化简下列二次根式：
①7?43； ②2?3； ③10?43?22. 解：化简的关键是把被开方数配方
①7?43＝4?2?23?3＝(2?3)
＝2?3＝2＋3.
2234?23(3?1)2②2?3＝2?＝＝
222＝
2(3?1)6?2＝.
22③10?43?22＝10?4(2?1)
＝10?（ 42＋1）＝6?42＝4?2?22?2＝(2?2)
=2－2.
例3. 求下列代数式的最大或最小值：
① x2+5x+1； ② －2x2－6x+1 .
22255?5?解：①x2+5x+1＝x2+2×x+??－+1
4`2?2?＝（x+
∵（x+
25221）－. 2452
）≥0，其中0是最小值. 2521即当x=时，x2+5x+1有最小值－.
241②－2x2－6x+1 ＝－2（x2+3x-）
23991x+?－) 2442113＝－2（x+）2+
22=－2(x2+2×
32
）≤0，其中0是最大值， 2113∴当x=－时，－2x2－6x+1有最大值.
22∵－2（x+
例4. 解下列方程：
①x4－x2+2xy+y2+1=0 ； ②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0. 解：①（x4－2x2＋1）＋（x2+2xy+y2）=0 . （折项，分组） (x2－1)2+(x+y)2=0. （配方）
根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.
??x?1?0 得 ?
??x?y?0∴?2?x?1, 或
?y??1?x??1 ??y?1②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2－2y+1=0 . (折项，分组) (x+y)2+6（x+y）+9+y2－2y+1=0.
(x+y+3)2+(y－1)2＝0. （配方） ∴?例5.
?x?y?3?0?x??4 ∴?
?y?1?0?y?1已知：a, b, c, d 都是整数且m=a2+b2, n=c2+d2, 则mn也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式. （1986年全国初中数学联赛题） 解：mn=( a2+b2)( c2+d2)= a2c2+ +a2d2 +b2 c2+ b2 d2
= a2c2+ b2 d2+2abcd+ a2d2 +b2 c2－2abcd (分组，添项) =(ac+bd)2+(ad-bc)2
例6. 求方程 x2+y2-4x+10y+16=0的整数解 解：x2-4x+16+y2+10y+25=25 (添项) （x－4）2+(y+5)2＝25 （配方）
∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.
2222??（?x?4)?0??(x?4)?25（?x?4)?9??(x?4)?16或?或?或?∴? 2222??(y?5)?25??(y?5)?0??(y?5)?16??(y?5)?9由??x?4?0?x?4得?
y?5?5y?0???x?4?x?9?x??1…… ???y??10?y?-5?y??5同理，共有12个解?
丙练习47
1. 因式分解：
①x4+x2y2+y4 ； ②x2-2xy+y2-6x+6y+9 ； ③x4+x2-2ax-a2+1. 2. 化简下列二次根式：
①4x2?12x?9?4x2?20x?25 （－
35＜x<）； 22x2?4x3?3x?2② (1 ⑤11?44?23； ⑥3?5?3?5； ⑦（14＋65）÷（3＋5）； ⑧（3?x）2＋x?8x?16. 3求下列代数式的最大或最小值： ①2x2+10x+1 ； ②－ 212 x+x-1. 2a?b3?22的值. 4.已知：a2+b2－4a－2b+5 . 求： 5.已知：a2+b2+c2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c的值. 6.已知：实数a, b, c 满足等式a+b+c=0, abc=8 . 试判断代数式 111??值的正负. （1987年全国初中数学联赛题） abc7.已知：x=19?83 . x4?6x3?2x2?16x?23 求：. （1986年全国初中数学联赛题） x2?8x?158.已知：a2+c2+2(b2-ab-bc)=0 . 求证：a=b=c. 9. 解方程： ①x2-4xy+5y2-6y+9 ； ②x2y2+x2+4xy+y2+1=0 ； ③5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=0. 10.求下列方程的整数解： ①（2x-y－2）2＋(x+y+2)2=5； ②x2-6xy+y2+10y+25=0. 练习47 1. ②（x－y－3）2 2. ①8， ②0.5x， ③3－22， ④ ⑦3＋5， ⑧7－2x （x≤3） 3. ①当x=－ 10?2， ⑤2＋3， ⑥10 25231时，有最小值－ ②x=1时，有最大值－ 2224. a=2, b=1 代数式值是3＋22 5. ±13 6.负数。由（a+b+c）2=0 得出ab+ac+bc<0 4. 值为5。 先化简已知为4－3，代入分母值为2， 可知x2－8x+13=0 分子可化为（x2+2x+1）(x2－8x+13)+10 ＝10 5. 配方（a－b）2+(b－c)2=0 6. ①??x?1,?1?x?6?x?2 ②? ③? ?y??1,1?y?3?y??1?x?1?x?1?x??1?x??1 ②（x-3）2+(y+5)2=9 …… ????y??1?y??2?y??3?y??27. ①?
初中数学竟赛辅导资料 配方法
