2013年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 当(A) (B) (C) (D)
时，用“
”表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是：
(2) 函数(A) (B) (C) (D) (3) 设
是圆域
的可去间断点的个数为：
位于第象限的部分，记，则：
(A) (B) (C) (D) (4) 设
．
为正项数列，下列选项正确的是：
(A) 若，则收敛
(B) 若收敛，则
(C) 若收敛,则存在常数,使存在
(D) 若存在常数(5) 设(A) 矩阵(B) 矩阵(C) 矩阵(D) 矩阵
,使存在,则
,且
收敛 可逆.则：
均为阶矩阵，若的行向量组与矩阵的列向量组与矩阵的行向量组与矩阵的列向量组与矩阵
的行向量组等价 的列向量组等价 的行向量组等价 的列向量组等价
(6) 矩阵（A）（B）（C）（D）(7) 设
与
相似的充分必要条件为：
为任意常数 为任意常数 是随机变量，且
，则：
，
，
，
(A) (B)
(C) (D)
(8) 设随机变量
和
相互独立，则
和
的概率分布分别为
则
：
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 设曲线_.
与在点处有公共切线，则________
(10) 设函数由方程确定，则_________.
(11)
(12) 微分方程
_________.
的通解为
(13) 设若
(14) 设随机变量
_________.
为
的行列式，
为
的代数余子式，
是阶非零矩阵，
，则
_________.
，则
_________.
服从标准正态分布
三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分) 当
时，
与
为等价无穷小，求与的值．
(16) (本题满分10分) 设
是由曲线
，直线
及轴所围成的平面图形，
，求的值.
分别是
绕
轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若(17) (本题满分10分)
设平面区域由直线及围成，计算
．
(18) (本题满分10分) 设生产某产品的固定成本为
元，可变成本为
元/件，价格函数为
，（是单价，单位：元，是销量，单位：件），已知产销平衡，求：
(I) 该商品的边际利润；(II) 当(III) 使得利润最大的定价(19) (本题满分10分) 设函数
在
上可导，
．
时的边际利润，并解释其经济意义；
，且.证明：
(I) 存在，使得；
(II) 对(I)中的，存在(20) (本题满分11分)
，使得
．
设有矩阵
．
，当为何值时，存在矩阵使得,并求所
(21) (本题满分11分) 设二次型
，记
，
(I) 证明二次型(II) 若
对应的矩阵为
；
在正交变换下的标准形为
．
正交且均为单位变量，证明
(22) (本题满分11分)
设是二维随机变量，的边缘概率密度为在给定
的条件下的条件概率密度为
(I) 求
的概率密度
； ；
(II) 求的边缘概率密度(III) 求
．
(23) (本题满分11分) 设总体
的概率密度为
2013考研数学三真题
