∵矩形ABCD中，CD⊥AD， ∴∠CDE+∠ADO＝90°， 又∵∠OAD+∠ADO＝90°， ∴∠CDE＝∠OAD＝30°， ∴在Rt△CED中，CE＝
1CD＝2，DE＝CD2?CE2＝23， 2在Rt△OAD中，∠OAD＝30°， ∴OD＝
1AD＝3， 2∴点C的坐标为(2，3+23)； (2)∵M为AD的中点， ∴DM＝3，S△DCM＝6， 又S四边形OMCD＝∴S△ODM＝
21， 29， 21xy＝9， 2∴S△OAD＝9，
设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，∴x2+y2＝2xy，即x＝y，
将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18， 解得x＝32(负值舍去)， ∴OA＝32； (3)OC的最大值为8， 如图2，M为AD的中点，
∴OM＝3，CM＝CD2?DM2＝5， ∴OC≤OM+CM＝8，
当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，
连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N， ∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN， ∴△CMD∽△OMN，
CDDMCM435????， ，即ONMNOMONMN3912解得MN＝，ON＝，
556∴AN＝AM﹣MN＝，
5∴
在Rt△OAN中，OA＝ON2?AN2?65， 5∴cos∠OAD＝【点睛】
AN5． ?OA5 本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点．4.（2024·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣
2x+4的图象与x轴和y轴分别相交3于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒． （1）当t=
1秒时，点Q的坐标是 ； 3（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式； （3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．
【答案】（1）（4，0）；（2）①当0＜t≤1时，S =S =﹣3t2+12；（3）OT+PT的最小值为32． 【解析】 【分析】
33243924t；②当1＜t≤时，S =﹣t+18t；③当＜t≤2时， 4343（1）先确定出点A的坐标，进而求出AP，利用对称性即可得出结论；
（2）分三种情况，①利用正方形的面积减去三角形的面积，②利用矩形的面积减去三角形的面积，③利用梯形的面积，即可得出结论；
（3）先确定出点T的运动轨迹，进而找出OT+PT最小时的点T的位置，即可得出结论． 【详解】 （1）令y=0， ∴﹣
2x+4=0， 3∴x=6， ∴A（6，0）， 当t=
11秒时，AP=3×=1， 33∴OP=OA﹣AP=5， ∴P（5，0），
由对称性得，Q（4，0）；
（2）当点Q在原点O时，OQ=6， ∴AP=
1OQ=3， 23=1， ∴t=3÷
①当0＜t≤1时，如图1，令x=0，
∴y=4， ∴B（0，4）， ∴OB=4， ∵A（6，0）， ∴OA=6，
在Rt△AOB中，tan∠OAB=由运动知，AP=3t， ∴P（6﹣3t，0）， ∴Q（6﹣6t，0）， ∴PQ=AP=3t，
∵四边形PQMN是正方形， ∴MN∥OA，PN=PQ=3t， 在Rt△APD中，tan∠OAB=∴PD=2t， ∴DN=t， ∵MN∥OA ∴∠DCN=∠OAB， ∴tan∠DCN=∴CN=
OB2=， OA3PDPD2??， AP3t3DNt2??， CNCN33t， 2∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=（3t）2﹣②当1＜t≤
13332t×t=t； 22443时，如图2，同①的方法得，DN=t，CN=t， 32
13392t×t=﹣t+18t；
42214③当＜t≤2时，如图3，S=S梯形OBDP=（2t+4）（6﹣3t）=﹣3t2+12；
32∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×（6﹣3t）﹣
（3）如图4，由运动知，P（6-3t，0），Q（6-6t，0）， ∴M（6-6t，3t），
∵T是正方形PQMN的对角线交点，
93t,t）， 221∴点T是直线y=-x+2上的一段线段，（-3≤x＜6），
3∴T（6-同理：点N是直线AG：y=-x+6上的一段线段，（0≤x≤6）， ∴G（0，6）， ∴OG=6， ∵A（6，0），
∴AG=62，在Rt△ABG中，OA=6=OG， ∴∠OAG=45°， ∵PN⊥x轴， ∴∠APN=90°， ∴∠ANP=45°， ∴∠TNA=90°， 即：TN⊥AG，
初中数学专题04几何最值存在性问题(解析版)
