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平面内到两定点的距离关系恒定的动点轨迹问题
四川省高中数学骨干教师省级培训班四班学员
四川省眉山车城中学 蒋国军
人教版《平面解读几何》课本中研究的平面内到两定点的距离关系恒定的动点轨迹有三类： 1、 到两定点 (1>、当<2）、当<3）、当2、 到两定点<1）、当<2）、当<3）、当3、 到两定点
的距离之和等于常数2a (2a>0> 时，动点轨迹是椭圆； 时，动点轨迹是线段时，动点轨迹不存在。
的距离之差等于常数2a (2a>0> 时，动点轨迹是双曲线； 时，动点轨迹是以时，动点轨迹不存在。
的距离之比<商）等于常数m (m>0>
的垂直平分线；
为端点的两条射线； ；
(1>、当m=1时，动点轨迹是线段<2）、当
时，动点轨迹是圆。<这也可称之为圆的第二定义）
的距离之积等于常数m (m>0>的动点轨
那么平面内到两定点迹是什么呢？ 以
所在直线为x轴，以线段
，则
的垂直平分线为y轴建立平
，又设动点M的
面直角坐标系；设坐标为
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两边平方，化简得：
<1）由对称性知识可得，方程所表示的曲线关于x轴、y轴成轴对称，且关于原点成中心对称； <2）令x=0,得：
则： 当当当
或
<<0,舍去）
；
时，方程所表示的曲线与y轴交于两点
时，方程所表示的曲线与y轴交于一点<0，0）； 时，方程所表示的曲线与y轴没有交点。
则：
或
；
<3）令y=0，得：
当当
时，方程所表示的曲线与x轴交于两点
时，方程所表示的曲线与x轴交于三点 <0，0），；
当时，方程所表示的曲线与x轴交于四点 。
，
由以上<1）、<2）、<3）综合分析可得： 当
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Y
时，方程所表示的图形为 Y X 个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途
当 当
时，方程所表示的图形为 X
Y 时，方程所表示的图形为
X 利用《几何画板》软件作为平台容易作出上述曲线，曲线的形状别致、有趣，不妨可以命名为“幻形线”，线”的焦点。b5E2RGbCAP 这样，平面内到两定点的距离之和、之差、之比<商）、之积为正常数的动点轨迹问题就得到系统、圆满的解决，特别是最后一个轨迹，虽然是一个四次曲线，但仍可运用研究圆锥曲线的方法及知识加以妥善解决，并可用课件加以直观验证，在课外引导学生去探究，不仅可以解决学生在学完“平面内到两定点的距离之和、之差、之比<商）的轨迹”之后所产生的“到两定点的距离之积的轨迹是什么”的疑问，还能很好地培养学生的探索和创新意识。p1EanqFDPw 申明：
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也可称为“幻形
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平面内到两定点的距离关系恒定的动点轨迹问题
