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t O B．
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t O D．
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7.(08年德州)对任意整数x,y,函数f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)?xy?1,若f(x)=1,那么
f(?8)等于 ( )
A. -1 B. 1 C. 19 D 43
8.已知f（x）是一次函数，且2f(x)+f(-x)=3x+1对xR恒成立，则f（x）=__________.
函数值域求法十一种
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数
1?0x∴
y?
1
x的值域。
解：∵x?0
显然函数的值域是：(??,0)?(0,??)
例2. 求函数y?3?解：∵
x?0
x的值域。
??x?0,3?x?3
故函数的值域是：[??,3]
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2y?x?2x?5,x?[?1,2]的值域。 例3. 求函数
解：将函数配方得：y?(x?1)∵x?[?1,2]
2?4
由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin故函数的值域是：[4，8]
3. 判别式法
1?x?x2y?1?x2 例4. 求函数
?4，当x??1时，ymax?8
的值域。
解：原函数化为关于x的一元二次方程
(y?1)x2?(y?1)x?0
（1）当y?1时，x?R
??(?1)2?4(y?1)(y?1)?0
13?y?2 解得：2?13?1??,?（2）当y=1时，x?0，而?22? ?13??2,2?故函数的值域为??
例5. 求函数y?x?∵x?R ∴??4(y?1)解得：1?2x(2?x)的值域。
222x?2(y?1)x?y?0（1） 解：两边平方整理得：
?8y?0
2?y?1?2
但此时的函数的定义域由x(2?x)?0，得0?x?2
222x?2(y?1)x?y?0在实数集R有实根，而??0由，仅保证关于x的方程：
不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 ??0求出的
?13??2,2?范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为??。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0?x?2
?y?x?x(2?x)?0
?ymin?0,y?1?2代入方程（1）
解得：
x1?2?2?2422?[0,2]
2?2?242x1?2即当
时，
2]
原函数的值域为：[0,1?注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x?4 例6. 求函数5x?6值域。
解：由原函数式可得：则其反函数为：
y?x?4?6y5y?3
4?6y3x?5x?3，其定义域为：5
3?????,?5? 故所求函数的值域为：?
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
ex?1y?x 例7. 求函数e?1的值域。
解：由原函数式可得：∵ex?0
y?1?0y?1∴
ex?y?1y?1
解得：?1?y?1
故所求函数的值域为(?1,1)
例8. 求函数
y?cosxsinx?3的值域。
解：由原函数式可得：ysinx?cosx?3y，可化为：
y2?1sinx(x??)?3y sinx(x??)?3yy2?1
即∵x?R
∴sinx(x??)?[?1,1]
?1?3yy?1?2?1即解得：
22?y?44
?22??,??44??? 故函数的值域为?
6. 函数单调性法 例9. 求函数y?2解：令y1?2x?5x?5?log3x?1(2?x?10)的值域。
,y2?log3x?1
则y1,y2在[2，10]上都是增函数 所以y?y1?y2在[2，10]上是增函数 当x=2时，
ymin?2?3?log32?1?18
5y?2?log39?33 max当x=10时，
?1??8,33?故所求函数的值域为：??
例10. 求函数y?x?1?x?1的值域。
y?2x?1?x?1解：原函数可化为：令y1?
x?1,y2?x?1，显然y1,y2在[1,??]上为无上界的增函数
所以y?y1，y2在[1,??]上也为无上界的增函数
2所以当x=1时，y?y1?y2有最小值显然y?0，故原函数的值域为(0,
7. 换元法
2]
2，原函数有最大值2?2
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数y?x?则x?t2?1
13y?t2?t?1?(t?)2?24 ∵
x?1的值域。
解：令x?1?t，(t?0)
又t?0，由二次函数的性质可知 当t?0时，ymin?1
当t?0时，y??? 故函数的值域为[1,??)
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