?4其中R3?(h??x?k?y)f(?h,?k)h?xk?y1(x?y)4???4(1??x??y)4(0???1)
4? 在曲面z?xy上求一点? 使这点处的法线垂直于平面x?3y?z?9?0? 并写出这法线的方程? 解 已知平面的法线向量为n0?(1? 3? 1)?
设所求的点为(x0? y0? z0)? 则曲面在该点的法向量为n?(y0? x0? ?1)? 由题意知
y0x0?1?? n//n0? 即131? 于是x0??3? y0??1? z0?x0y0?3? 即所求点为(?3? ?1? 3)? 法线方程为
x?3?y?1?z?331? 1
5? 设el?(cos? ? sin?)? 求函数f(x? y)?x2?xy?y2在点(1? 1)沿方向l的方向导数? 并分别确定角
?? 使这导数有(1)最大值? (2)最小值? (3)等于0?
解 由题意知l方向的单位向量为(cos?? cos?)?(cos? ? sin?)? 即方向余弦为 cos??cos? ? cos??sin? ? 因为
fx(1? 1)?(2x?y)|(1? 1)?1? fy(1? 1)?(?x?2y)|(1? 1)?1?
所以在点(1? 1)沿方向l的方向导数为 因此 (1)当 (2)当 (3)当
?f?l?fx(1, 1)cos??fy(1, 1)cos??cos??sin??2sin(???)4(1,1)?
???4时? 方向导数最大? 其最大值为2?
??5?4时? 方向导数最小? 其最小值为?2?
??3?7?4及4时? 方向导数为0?
x2?y2?z2?16? 求函数u?x2?y2?z2在椭球面a2b2c2上点M0(x0? y0? z0)处沿外法线方向的方向导数?
x0y0z0x2?y2?z2?1n?(,2,2)2222abcabc? 其单位向量 解 椭球面上点M0(x0? y0? z0)处有外法向量为为
en?(cos?,cos?,cos?)?xy0z01(0,2,2)2222x?y?zabca4b4c4?
因为
ux(x0? y0? z0)?2x0? uy(x0? y0? z0)?2y0? uz(x0? y0? z0)?2z0? 所以? 所求方向导数为
?u?u(x,y,z)cos??uy(x0,y0,z0)cos??uz(x0,y0,z0)cos??n(x0,y0,z0)x000?
xy0z012(2x0?0?2y??2z?)?0202a2bcx2?y2?z2x2?y2?z2a4b4c4a4b4c4?
x?y?z?17? 求平面345和柱面x2?y2?1的交线上与xOy平面距离最短的点?
解 设M(x? y? z)为平面和柱面的交线上的一点? 则M到xOy平面的距离为d(x? y? z)?|z|?
x?y?z?1问题在于求函数f(x? y? z)?|z|2?z2在约束条件345和x2?y2?1下的最不值? 作辅助函数?
xyzF(x,y,z)?z??(???1)??(x2?y2?1)345 ?
2??F???2?x?0??x3??F???y?4?2?y?0???F???2z??05??z?x?y?z?1?345?x2?y2?1? 令 ?? 解方程组得
x?4y?3z?355? 5? 12?
(4, 3, 35) 因为可能的极值点只有5512这一个? 所以这个点就是所求之点?
x2?y2?z2?18? 在第一卦限内作椭球面a2b2c2的切平面? 使该切平面与三坐标面所围成的四面
体的体积最小? 求这切平面的切点? 并求此最小体积?
2y2z2xF(x,y,z)?2?2?2?1abc 解 令? 则
2y2zF?F?Fx?2xyzb2? c2? a2?
椭球面上点M(x? y? z)处的切平面方程为
x(X?x)?y(Y?y)?z(Z?z)?0xX?yY?zZ?1b2c2 a2? 即a2b2c2? 切平面在三个坐标轴上的截距分别为
2c2Y0?bZ?X0?ay? 0z? x?
切平面与三个坐标面所围的四面体的体积为
22221aV??bc6xyz?
222x2?y2?z2?1V?1?abc6xyz在条件a2b2c2下的最小值的问题? 或求函数 现将问题化为求函数
x2?y2?z2?1f(x? y? z)?xyz在a2b2c2下的最大值的问题?
2y2z2xF(x,y,z)?xyz??(2?2?2?1)abc 作辅助函数?
??F?yz?2?x?0??xa2??F2?y?xz??0???yb2??Fz?0??xy?2?2??z2c?x2?y?z2?1?a2b2c2 令 ?? 解方程组得
x?ay?bz?c3? 3? 3?
y(a, , c)V?3abc2 于是? 所求切点为333? 此时最小体积为?
第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲乙组试题与解答
