第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答
一、填空题（每小题3分，共30分）
1?3?26x1. lim?(x?x?)ex?x?1?= 1/6 . x???2??2．设f(x)连续，在x?1处可导，且满足 f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x?o(x),x?0, 则曲线y?f(x)在x?1处的切线方程为 y=2x－2 . 3. 设limx?0y?0f(x,y)?3x?4y?2, 则 2fx?(0,0)?fy?(0,0)? －2 . 22x?yu2??z?zxy??0，则?(u)?e4 . 4．设函数?(u)可导且?(0)?1，二元函数z??(x?y)e满足
?x?y5. 设D是由曲线y?sinx (?????x?)和直线x??, y?1所围成的区域, f是连续函数, 则222I???x[1?y3f(x2?y2)]dxdy? －2 .
D??1??2??3??n??ln1?ln1?ln1?ln?????1?????n?????n???n??L??n???2ln2?1 .
6. lim?n???23n??n?1n?n?n??nnnn???7. 数项级数
?(?1)nn?1?n?(2n)!的和S? －1+cos1+ln2.
n(2n)!112?dxdycos?0?0?0[6(x?y?z)]dz= 1/2 . x?1y?19. 已知入射光线的路径为??z?2, 则此光线经过平面x?2y?5z?17?0反射后的反射线
438. 计算积分I?1方程为
x?7y?5z . ??31?4222asin(ex)?bsin(ey)ds?a?bL . 10. 设曲线C:x?xy?y?a的长度为L, 则?xyCsin(e)?sin(e)2二、(10分) 设f(x)在[a,??)上二阶可导，且f(a)?0,f?(a)?0,而当x?a时, f??(x)?0,证明在(a,??)内，方程f(x)?0有且仅有一个实根．
证明 由于当x?a时，f??(x)?0,因此f'(x)单调减，从而f'(x)?f'(a)?0，于是又有f(x)严格单调减．再由f(a)?0知，f(x)最多只有一个实根．
下面证明f(x)?0必有一实根．当x?a时，
f(x)?f(a)?f'(?)(x?a)?f'(a)(x?a)， 即 f(x)?f(a)?f'(a)(x?a)，
上式右端当x???时，趋于??，因此当x充分大时，f(x)?0，于是存在b?a，使得f(b)?0，由介值定理存在?(a???b)，使得f(?)?0．综上所述，知f(x)?0在(a,??)有而且只有一个实根． 三、(10
分)
设
f(x,y)有二阶连续偏导数,
g(x,y)?f(exy,x2?y2), 且
f(x,y)?1?x?y?o((x?1)2?y2), 证明g(x,y) 在(0,0)取得极值, 判断此极值是极大值还是极
小值, 并求出此极值.
解 f(x,y)??(x?1)?y?o((x?1)2?y2), 由全微分的定义知 f(1,0)?0 fx?(1,0)?fy?(1,0)??1.
xy??xy?? g??f?ex?f2??2y g?x?f1?ey?f2?2x g?x(0,0)?0 gy(0,0)?0 y1??(f11???ey?f12???2x)ey?f1??ey?(f21???ey?f22???2x)2x?2f2? g?x2?????????? g?xy?(f11?ex?f12?2y)ey?f1?(exy?e)?(f21?ex?f22?2y)2x
xyxyxy2xy???????????2y)2y?2f2? g??ex?f?2y)ex?f?ex?(f?ex?f222?(f1112121yxyxyxy2xyxyxyxyxyxy?(0,0)?2f2?(1,0)??2， B?g????(0,0)?2f2?(1,0)??2 A=g?xy(0,0)?f1(1,0)??1，C?g?x2y2 AC?B?3?0, 且A?0, 故g(0,0)?f(1,0)?0是极大值.
四、(10分) 设f (x)在 [0,1] 上连续, f (0)= f (1) , 求证: 对于任意正整数ｎ，必存在xn?[0,1]，使
21f(xn)?f(xn?)．
n证明 令?(x)?f(x)?f(x?11),?(x)在[0,1?]上连续,所以有最大值M及最小值m. nnk1于是有 m??()?M,k?0,1,?,n?1, 所以 m?nn故存在xn?[0,1??k?0n?1?()?M.
kn1], 使 n1n?1k11n?1?(xn)???()?[?(0)??()????()]nk?0nnnn1112n?11?[f(0)?f()?f()?f()???f()?f(1)]?[f(0)?f(1)]?0.nnnnnn
1f(xn)?f(xn?)．
n?五、(10分)设f(x)有连续的二阶导数,f(0)?f?(0)?0,且f??(x)?0,求limx?0?u(x)0f(t)dt?x0,其中u(x)是
f(t)dt曲线y?f(x)在点(x,f(x))处切线在x轴上的截距.
解切线方程：Y?f(x)?f?(x)(X?x),f(x)f??(x)f(x)
它在x轴上的截距为u(x)?x?,于是u?(x)?.2f?(x)[f?(x)]1x由f(x)?f??(0)x2?o(x2)，f?(x)?f??(0)x?o(x)，知u(x)??o(x).22由洛必达法则有1??(x)[f??(0)u2(x)?o(u2(x))]f ?f(u(x))u?(x)f(u(x))f??(x)102lim?lim??lim??lim??.x22x?0?x?0x?0x?0???f(x)8[f(x)][f(0)x?o(x)]?f(t)dtu(x)f(t)dt0六、(10分) 设函数f(x)具有连续导数,在围绕原点的任意光滑简单闭曲面S上,积分
??xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?eS2xzdxdy
的值恒为同一常数.
(1)证明: 对空间区域x?0内的任意光滑简单闭曲面?,有
2xxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?ezdxdy?0; ???(2) 求函数f(x)(x?0)满足lim?f(x)?1的表达式.
x?0(1)证明:
如图, 将
?分解为
??S1?S2,另做曲面S3围绕原点且与?相接, 则
???f(x)dydz?yf(x)dzdx?zsinxdxdy
S1?S3???f(x)dydz?yf(x)dzdx?zsinxdxdy???f(x)dydz?yf(x)dzdx?zsinxdxdy=0.
?S2?S32x(2) 由(1)可知, xf'(x)?f(x)?xf(x)?e?0,其通解为
e2x?Cexe2x?Cexe2x?exf(x)??1, 得C??1,故f(x)?, 由lim?f(x)?lim?(x?0)
x?0x?0xxx
七、(10分) 如图, 一平面均匀薄片是由抛物线y?a(1?x) (a?0) 及x轴所围成的, 现要求当
2此薄片以(1,0)为支点向右方倾斜时, 只要?角不超过45, 则该薄片便不会向右翻倒,问参数a 最大不能超过多少? y 解 x?0 y????ydxdyD??dxdyD?2?dx?0101a(1?x2)a(1?x2)0ydydy??dx?2a 5M 0 倾斜前薄片的质心在P(0,2a), 点P与点(1,0)的距离为 5N??1O12a()2?1, 薄片不翻倒的临界位置的质心在点 5M(1,(x2a222)?1), 此时薄片底边中心在点N(1?,)处, 有 522( kMN?2a22)?1?5552?tan45??1, 解得??, 故a最大不能超过. .
2221?(1?)2
八、(10分) 讨论是否存在 [0,2] 上满足下列条件的函数, 并阐述理由: f (x) 在 [0,2] 上有连续导数, f (0) = f (2)=1, |f?(x)|?1,|解 不存在这样的函数.
当x?(0,2)时, f(x)?1?f?(?1)x?1?f?(?2)(2?x),?1?(0,x),?2?(x,2). 由题设知f(x)?1?x,f(x)?x?1,且
?20f(x)dx|?1.
?10f(x)dx??10(1?x)dx?1,2?21f(x)dx??21(x?1)dx?1. 2下面证明上面的不等式不能同时取等. 否则,
当x?[0,1]时,f(x)?1?x, 当x?[1,2]时,f(x)?x?1,此时函数不满足连续可导的条件.
于是
?20f(x)dx??10f(x)dx??21f(x)dx?1, 故不存在满足所给条件的函数.
贸大数学竞赛选拔题目（一大一小） 1. 函数u?ln(x?y2?z2)在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 .
提示:AB?(2,?2,1), 其单位向量为l?ABAB?221???,?,??333??(cos?,cos?,cos?)
1 2?u?xd 1ln(x?1)?, ?u?2dx?yAx?1?Ad ln(1?1?y2)dyy?0?0,
?u?z?A??u?u?u?u?cos??cos??cos??1 ?l?x?y?z22. 求函数f(x,y)?sin(2x?y)在点(0,解: fx(x,y)?2cos(2x?y),fxx(x,y)??4sin(2x?y) ，
?4)的一阶泰勒公式
fy(x,y)?cos(2x?y)
fxy(x,y)??2sin(2x?y)， fyy(x,y)??sin(2x?y)
?2?2?f(0,)?，， fx(0,)?2， fy(0,)?
42424fxx(?,?)??4sin(2???)，
fxy(?,?)??2sin(2???)，fyy(?,?)??sin(2???)
所以f(x,y)?sin(2x?y)=
222?(x?0)+ (y?)]+ +[ 222421??22[?4sin(2???)(x?0)+2(?2sin(2???)(x?0)(y?))?sin(2???)(y?)] 244=22??2x?(y?)?sin(2???)[2x2?2x(y??)?1(y??)2] 224424其中???x,??
?4??(y??4), (0???1)
3. 求函数f(x,y)?ln(1?x?y)在点(0,0)的三阶泰勒公式. 解: fx(x,y)?fy(x,y)??3f2!?p3?p?x?y(1?x?y)31?1 fxx(x,y)?fxy(x,y)?fyy(x,y)?
1?x?y(1?x?y)2?4f?3!?p4?p?x?y(1?x?y)4(p?0,1,2,3) (p?0,1,2,3,4)因此,
(h??x?k??y)f(0,0)?hfx(0,0)?kfy(0,0)?h?k
(h??x?k??y)2f(0,0)?h2fxx(0,0)?2hkfxy(0,0)?k2fyy(0,0)??(h?k)2 (h??x?k??y)3f(0,0)pp3?p??C3hkp?03?3f?xp?y3?p(0,0)?2(h?k)3
又f(0,0)?0,将h?x,k?y代入三阶泰勒公式得 ln(1?x?y)?x?y?1(x?y)2?1(x?y)3?R3
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第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲乙组试题与解答
