.
(2)用动能定理求小车的末速v：根据动能定理可以列出下面的方程式
,
其中摩擦力可以表示为
.
由以上两式可解得
,
将已知数值代入上式，得小车的末速为
.
2-11 质量m = 100 g的小球被系在长度l = cm绳子的一端，绳子的另一端固定在点o，如图2-6所示。若将小球拉到p处，绳子正好呈水平状，然后将小球释放。求小球运动到绳子与水平方向成 = 60 的点q时，小球的速率v、绳子的张力t和小球从p到q的过程中重力所作的功a。
解 取q点的势能为零，则有
,
即
,
于是求得小球到达q点时的速率为
.
图2-6
可以列出下面的方程式
,
由此可解的
.
在小球从p到q的过程中的任意一点上，沿轨道切向作位移元ds，重力所作元功可表示为
,
设小球到达q点时绳子的张力为t，则沿轨道法向
式中是沿轨道切向所作位移元ds与竖直方向的夹角。小球从p到q的过程中重力所作的总功可以由对上式的积分求得
.
2-12 一辆重量为103 n的汽车，由静止开始向山上行驶，山的坡度为，汽车开出100 m后的速率达到36 kmh1 ，如果摩擦系数为，求汽车牵引力所作的功。
解 设汽车的牵引力为f，沿山坡向上，摩擦力为f，山坡的倾角为。将汽车自身看为一个系统，根据功能原理可以列出下面的方程式
, (1)
, .
根据已知条件，可以得出
，
，汽车的
质量 以及
.
。从方程(1)可以解得
汽车牵引力所作的功为
,
将数值代入，得
.
2-13 质量为1000 kg的汽车以36 kmh1 的速率匀速行驶，摩擦系数为。求在下面三种情况下发动机的功率：
(1)在水平路面上行驶； (2)沿坡度为的路面向上行驶； (3)沿坡度为的路面向下行驶。 解
(1)设发动机的牵引力为f1 ，路面的摩擦力为f。因为汽车在水平路面上行驶，故可列出下面的方程式
, , .
解得
.
所以发动机的功率为
.
(2)设汽车沿斜面向上行驶时发动机的牵引力为f2，可列出下面的方程式
,
,
.
解得
.
发动机的功率为
.
(3)汽车沿斜面向下行驶时发动机的牵引力为f3，其方向与汽车行驶的方向相反。所列的运动方程为
,
所以
,
这时发动机的功率为
.
2-14 一个物体先沿着与水平方向成15角的斜面由静止下滑，然后继续在水平面上滑动。如果物体在水平面上滑行的距离与在斜面上滑行的距离相等，试求物体与路面之间的摩擦系数。
解 设物体在水平面上滑行的距离和在斜面上滑行的距离都是l，斜面的倾角 = 15，物体与地球组成的系统是我们研究的对象。物体所受重力是保守内力，支撑力n不作功，物体所受摩擦力是非保守内力，作负功。以平面为零势能面，根据功能原理可以列出下面的方程式
,
其中
,
, 将它们代入上式，可得
,
所以
.
2-15 有一个劲度系数为1200 nm1 的弹簧被外力压缩了 cm，当外力撤除时将一个质量为 kg的物体弹出，使物体沿光滑的曲面上滑，如图2-7所示。求物体所能到达的最大高度h。
图2-7
解 将物体、弹簧和地球划归一个系统，并作为我们的研究对象。这个系统没有外力的作用，
同时由于曲面光滑，物体运动也没有摩擦力，即没有非保守内力的作用，故系统的机械能守恒。弹簧被压缩状态的弹力势能应等于物体达到最大高度h时的重力势能，即
,
.
2-16 如图2-8所示，一个质量为m = kg的木块，在水平桌面上以v = ms1 的速率与一个轻弹簧相碰，并将弹簧从平衡位置压缩了x = 50 cm。如果木块与桌面之间的摩擦系数为 = ，求弹簧的劲度系数k。
解 以木块和弹簧作为研究对象，在木块压缩弹簧的过程中，系统所受外力中有重力和摩擦力，重力不作功，只有摩擦力作功。根据功能原理，可列出下面的方程
图2-8
其中
系数，得
,
, 代入上式，并解出弹簧的劲度
.
2-17 一个劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端悬挂一个质量为m的小球，这时平衡位置在点a，如图2-1所示。现用手把小球沿竖直方向拉伸x并达到点b的位置，由静止释放后小球向上运动，试求小球第一次经过点a时的速率。
解 此题的解答和相应的图2-1，见前面[例题分析]中的例题2-1。
若把小球、弹簧、地球看作一个系统，则小球所受弹性力和重力都是保守力。系统不受任何外力作用，也不存在非保守内力，所以在小球的运动过程中机械能守恒。
另外，可以把小球处于点B时的位置取作系统重力势能零点，而系统的弹性势能零点应取在弹簧未发生形变时的状态，即图中所画的点O。设由于小球受重力的作用，弹簧伸长了△x0，而到达了点A。则根据状态B和状态A的机械能守恒，应
△x0 B O A △x 图 2-1 有：
111k(?x0??x)2?k(?x0)2?mg(?x)?mv2 222式中v是小球到达点A时的速率。因为小球处于点A时所受的重力mg和弹性力k(△x0)相平衡，故有
mg= k(△x0) (2)
将式(2)代入式(1)，即可求得小球到达点A时的速率 v?k?x m 有的读者认为．既然势能零点可以任意选择，那么弹力势能的零点若选在点A不是更简便吗
如果将弹力势能零点选择在点A，则式(1)成为下面的形式：
11 k(?x)2?mg(?x)?mv2
22由此可以解得 v?k(?x)2?2g(?x) m这显然与上面的结果不一致。哪个结果正确呢难道弹力势能零点不能任意选择吗
势能零点的确是可以任意选择的，并且如若不指明势能零点，势能的值就没有意义。读者一定还记得，我们在讨论弹力势能时，得到弹力势能表达式EP=kx2/2的前提是选择物体处于平衡位置(即弹簧无形变)时系统的弹力势能为零。这就是说，在使用公式EP=kx2/2时，势能零点就已经选定在平衡位置O点了。若再选择A点为势能零点，岂不是在一个问题中同时选择了两个弹力势能零点了吗这显然是不能允许的。所以，在这里读者必须注意，在使用公式EP=kx2/2时，势能零点必须选在弹簧无形变时的平衡位置。
物理学第三版刘克哲第二章解析及答案
