第二章 机械能守恒定律
§2-1 功和功率
一、功
定义：力对质点所做的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。 1、恒力的功
恒力：力的大小和方向均不变。 如图2-1，功为
?? W?Fcos?S?F?S 即
?? W?F?S
说明：⑴W为标量 ?
??0???2,W?0,力对物体做正功?????????,W?0,力对物体做负功 ?2⑵功是过程量
???? ,W?0,力对物体不做功?2?⑶功是相对量
⑷功是力对空间的积累效应
⑸作用力与反作用力的功其代数和不一定为零。
2、变力的功
????i设质点做曲线运动，如图2-2。F为变力，在第个位移元?Si中，Fi看作恒力，Fi对
物体做功为
???Wi?Ficos??Si?Fi??Si
?质点从a?b过程中，F对质点做的功为
??W???Wi??Fi??Si
功的精确数值为
?S?0iii??S???S??
imax?b????b?W?lim?Fi??Si??F?dS??F?draa即：
W??ba??F?dS
讨论：⑴恒力功
??b???b?W??F?dS?F??dS?F?Saa
⑵直线运动
??F(x)?F(x)i设，如图3-10，质点在a?b中，功为
W??baba??b??F?dx??Fi?dxia??Fdx?曲线下面积代数和⑶合力功
???F设质点受n个力，F1，F2，…，n，合力功为
W??aba??b????F?dr??(F1?F2?????Fn)?draaab?b??b?????F1?dr??F2?dr??????Fn?dr?W1?W2?????Wn
?各分力功代数和
二、功率
定义：力在t?t??t内对物体做功为?W，下式
P??W?t
称为在t?t??t时间间隔内的平均功率。下式
???WdWF?dr??P?limP?lim???F?V?t??t?0?tdtdt
称为瞬时功率，即
??P?F?V
§2-2 动能和动能定理
一、动能
定义：
Ek?12mv2
Ek为质点的动能。
式中，m、v分别为物体质量和速率。称说明：(1)(2)(3)
Ek为标量；
EkEk为瞬时量； 为相对量。
质点的动能定理
恒力，直线运动
??1A?F?S?FScos??m(v22?v12)2
A?Ek2?Ek1??Ek变力，曲线运动
b
??b1A??F?dS??Fcos?dS?m(vb2?va2)aa2 A??Ek
合外力做的功等于动能的增量。 讨论：
1、 2、
12b??Ek?mvA??F?dS2a 为状态量， 为过程量； EkA,的数值与参照系有关，但动能定理形式不变。
§2-3 势能
一、保守力与非保守力
?如果力F对物体做的功只与物体始末二位置有关而与物体所经路径无关，则
??该力称为保守力，否则称为非保守力。数学表达依次为：?F?dl?0
??l及 ?F?dl?0
由上可知，重力、弹性力、万有引力均为保守力，而摩擦力、汽车的牵引力等都是非保守力。 二、势能
对任何保守力，则它的功都可以用相应的势能增量的负值来表示，即：
lW??(Epb?Epa)
结论：保守力功=相应势能增量的负值 。
????l∵??F?0∴F与?Ep有对应关系，Ep可定义为与F相应的势能。也就是说，保守
[*从理论上讲，∵F?dl?0∴??F?0即F是无旋的，
力场中才能引进势能的概念。可见，引进势能概念是有条件的。注意：势能是相对的，属于系统的。]
????mM(势能零点取在无限远处） r重力势能：Ep?mgh(势能零点取在某一水平面上）
1弹性势能：Ep?kx2(势能零点取在弹簧原长处）
2能概念 说明： （1）保守力场中才能引进势万有引力势能：Ep??G（2）势能是属于系统的 （3）势能是相对的
§2-4 机械能守恒定律
一、功能原理
作用在质点上的力可分为保守力和非保守力，把保守力的受力与施力者都划在系统中，则保守力就为内力了，因此，内力可分为保守内力和非保守内力，内力功可分为保守内力功和非保守内力功。 由质点动能定理
W外?W内?Ek2?Ek1 有
W外?(W保守内?W非保守）?Ek2?Ek1
?W外?W非保守?Ek2?Ek1?W保守内?Ek2?Ek1???Ep2?Ep1?(保守力功?势能增量负值）??Ek2?Ep2???Ek1?Ep1?
??W外?W非保守??Ek2?Ep2???Ek1?Ep1?结论：合外力功+非保守内力功=系统机械能（动能+势能）的增量。称此为功能原理。 说明：⑴功能原理中，功不含有保守内力的功，而动能定理中含有保守内力的功。
⑵功是能量变化或转化的量度 ⑶能量是系统状态的单值函数
二、机械能守恒定律
由功能原理知，当W外?W非保守?0时，有
Ek2?Ep2?Ek1?Ep1
结论：当W外?W非保守?0时，系统机械能=常量，这为机械能守恒定律。（注意守恒条件）
例 如图3-18，在计算上抛物体最大高度H时，有人列出了方程（不计空气阻力）
?mgH?1212mv0cos2??mv022
列出方程时此人用了质点的动能定理、功能原理和机械能守恒定律中的
那一个
解：⑴动能定理为
合力功=质点动能增量
??mgH?⑵功能原理为
1mv0cos?2??212?mv0 2外力功+非保守内力功=系统机械能增量 （取m、地为系统）
?1?0?0??mv0cos??2??2??12??mgH???mv0?0?
??2?⑶机械能守恒定律
∵W外?W非保内?0
2112mv0cos??mgH?mv0?0 22可见，此人用的是质点的动能定理。
∴Ek2?Ep2?Ek1?Ep1
即 ???[物理学2章习题解答]
2-1 处于一斜面上的物体，在沿斜面方向的力f作用下，向上滑动。已知斜面长为 m，顶端的高度为 m，f的大小为100 n，物体的质量为12 kg，物体沿斜面向上滑动的距离为 m，物体与斜面之间的摩擦系数为。求物体在滑动过程中，力f、摩擦力、重力和斜面对物体支撑力各作了多少功这些力的合力作了多少功将这些力所作功的代数和与这些力的合力所作的功进行比较，可以得到什么结论
解 物体受力情形如图2-3所示。力f所作的功 摩擦力
；
图2-3
；
重力所作的功
;
支撑力n与物体的位移相垂直，不作功，即
； 这些功的代数和为
.
物体所受合力为
合力的功为
. ,
摩擦力所作的功
,
这表明，物体所受诸力的合力所作的功必定等于各分力所作功的代数和。
物理学第三版刘克哲第二章解析及答案
