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其根轨迹如图：
图4 未校正前的系统开环根轨迹
MATLAB绘制未校正前的闭环系统阶跃响应曲线程序如下:
3.2 根轨迹校正器设计及仿真
直线一级倒立摆的根轨迹校正可以转化为如下的问题【11】：对于传递函数为：
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G(s)?4.9
s2?48.3的系统，设计控制器使得校正后系统的性能指标如下：
1.调节时间ts?0.5s； 2.最大超调量Mp?1000； 根轨迹设计步骤【5】如下：
1. 确定闭环期望极点sd的位置，由最大超调量：
Mp?e?(?1??2)??10% （30）
可以得到??0.5912，取??0.6，由??cos?得??0.9273rad，其中?为位于第二象限的极点和原点的连线与实轴负方向的夹角。 所编程序为：
图5 性能指标与根轨迹关系图 又由ts?
4?0.5s，可以得到?n?13.3333，取?n?13.5，于是可以得到期望??n的闭环极点sd=13.5(?cos??jsin?)??8.1?j?10.8。 所编程序为：
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2. 未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为：
Gc(s)?1?aTss?zc?(a?1) 1?Tss?pc
3. 计算超前校正装置应提供的相角，已知系统原来的极点在主导极点产生的滞后相角和为：
?13.5sin?13.5sin??????1?G(sd)???tan?1??tan?????13.5cos??7.746??13.5cos??7.746?? （31） ??2.1362 所以一次校正装置提供的相角为：
??3.1416?2.1362?1.0054
4. 设计超前校正装置，已知??0.9273，对于最大的a值的?角度：
??1(?????)?0.6045 2
图6 根轨迹校正计算图
求出超前校正装置的零点和极点，分别为：zc程序如下：
??7,zp??24
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校正后系统的开环传递函数为： Q(s)?KGc(s)G(s)?K(s?7)4.9 （32）
s?24s2?48.35. 由幅值条件Q(sd)H(sd)?1，并设反馈为单位反馈，即Q(sd)?1。 KGc(s)G(s)? 求得：K?52.71
6. 于是我们得到了系统的控制器：
52.71(s?7) （34）G(s)?s?24
校正后系统的根轨迹如下图所示：
K(s?7)4.9s?24s2?48.3s??8.1?j10.8?1 （33）
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图7 校正后系统根轨迹
校正后的系统阶跃响应曲线如下图所示：
图8 超前校正后系统阶跃响应曲线
可以看出，系统有较好的稳定性，但系统存在较大的稳态误差，所以只通过超前校正设计的校正器并不是最优的，为使稳态性能满足要求，可以通过在串联滞后校正器的方法。滞后校正器设计如下：
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直线一级倒立摆的仿真分析
