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直线一级倒立摆的仿真分析
作者 黄俊杰
摘 要:应用牛顿力学定律建立了直线一级倒立摆传递函数、状态空间表达式等数学模型,并分析其稳定性、可控性和可观测性。【1】在此基础上,分别研究经典控制方法和现代控制方法在一级倒立摆系统中的应用,包括跟PID控制算法、系统轨迹/频率响应分析与校正、线性二次最优控制算法等,并在MATLAB/SIMULINK仿真平台上对这些控制算法的效果进行仿真,可以取得不同的控制效果。
关键词:直线一级倒立摆 数学模型 经典控制方法 现代控制方法 MATLAB/SIMULINK
引言：倒立摆系统是研究控制理论的一种典型的实验装置,具有成本低廉,结构简单,参数和结构易于调整的优点。然而倒立摆系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性,是一个绝对不稳定系统。倒立摆实物仿真实验是控制领域中用来检验某 种控制理论或方法的典型方案,它对一类不稳定系统的控制以及对深入理解反馈控制理论具有重要的意义。倒立摆系统在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义,相关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。【2】伴随着控制理论的不断发展,对倒立摆的控制也出现了采用经典控制理论、现代控制理论和人工智能控制理论等多种控制理论的方案和控制方法。本文首先建立了直线一级倒立摆的数学模型, PID控制算法、系统轨迹/频率响应分
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析与校正、线性二次最优控制算法对模型进行仿真分析。
一、牛顿－欧拉方法建模
在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和 匀质杆组成的系统，如图1-1所示。
表1直线一级倒立摆系统的物理参数表 M m b l I F x 小车质量 摆杆质量 小车摩擦系数 摆杆转动轴心到杆质心的长度 摆杆惯量 加在小车上的力 小车位置 摆杆与垂直向上方向的夹角 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） ? ?
图1 直线一级倒立摆模型
图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
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图2 小车及摆杆受力分析图
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程:
??F?bx??N (1) M?xd(x?lsin?) (2) 2dt2 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式: N?m??cos??ml??sin? (3) ??ml?x即: N?m? 把这个等式代入(1)式中，就得到系统的第一个运动方程:
??cos??ml??2sin??F (4) ??bx??ml?x (M?m)? 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析， 可以得到下面方程:
d(lcos?) (5) P?mg?m2dt??sin??ml??2cos? (6) P?mg??ml? 力矩平衡方程如下:
?? (7) ?Plsin??Nlcos??I? 注意:此方程中力矩的方向，由于?????,cos???cos?,sin???sin?,故等式前面有负号。合并这两个方程，约去 P 和N，得到第二个运动方程:
2???mglsin???ml??cos? (8) x (I?ml)? .
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设?????,（?是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设?与1（单位是弧度）相比很小，即?<<1，则可以进行近似处理:
cos???1,sin????,(d?2)?0 dt 用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下:
2???mgl??ml???x?(I?ml)? ? (9) ?????bx??ml??ux?(M?m)? 对方程组(9)式进行拉普拉斯变换，得到方程组:
22?(I?ml)?(s)s?mgl?(s)?mlX(s)s? ? (10) 22?(M?m)X(s)s?bX(s)s?ml?(s)s?U(s)? 注意:推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度?，求解方程组的第一个方程，可以得到:
(I?ml2)gX(s)?[?]?(s) (11) 2mls如果令v? ,则有: ??xmlV(s) (12) ?(s)?22(I?ml)s?mgl 把上式代入方程组的第二个方程，得到:
(I?ml2)g(I?ml2)g2(M?m)[?]?(s)s?b[?2]?(s)s?ml?(s)s2?U(s)(13)
mlsmls
整理后得到传递函数:
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?(s)U(s)?ml2sqb(I?ml2)3(M?m)mgl2bmgl(14) 4s?s?s?sqqq22其中 q?[(M?m)(I?ml)?(ml)]
设系统状态空间方程为:
??AX?BuX
y?CX?Du (15)
??解代数方程，得到解如下: ?,?x方程组对???x??x???(I?ml2)bxm2gl2?(I?ml2)u???x?2?2?I(M?m)?MmlI(M?m)?MmlI(M?m)?Mml2???????????mgl(M?m)???mlbxmlu?????I(M?m)?Mml2I(M?m)?Mml2I(M?m)?Mml2?态方程:
(16)
整理后得到以外界作用力(u来代表被控对象的输入力F)作为输入的系统状
?0?x????????0x???????0????????0??????1?(I?ml2)bI(M?m)?Mml20?mlbI(M?m)?Mml2022mglI(M?m)?Mml20mgl(M?m)I(M?m)?Mml2?0?0???2x??I?ml???0??x?2??I(M?m)?Mml???????u(17) 1?????0??????0??ml????????2??I(M?m)?Mml???x??1y?????????00001?x????0??x???0?u (18)
?0?0??????????????? 由方程组(9)得第一个方程为:
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直线一级倒立摆的仿真分析
