专题探究课四高考中立体几何问题的热点题型
.(·青岛质检)在平面四边形中，＝＝＝，⊥，⊥，将△沿折起，使得平面⊥平面，如图. ()求证：⊥；
()若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.
()证明 ∵平面⊥平面，平面∩平面＝，?平面，⊥，∴⊥平面.又?平面，∴⊥.
()解 过点在平面内作⊥，如图. 由()知⊥平面， ?平面，?平面， ∴⊥，⊥.
以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. 依题意，得(，，)，(，，)，(，，)，(，，)， ，则＝(，，)，＝，＝(，，－). 设平面的法向量为＝(，，)， 则即
取＝，得平面的一个法向量为＝(，－，). 设直线与平面所成角为θ， 则 θ＝ 〈，〉＝＝，
即直线与平面所成角的正弦值为. .如图，三棱锥－中，
⊥
平面，＝，
∠
＝，分别为线段，上的点，且＝＝，＝＝.
()证明：⊥平面； ()求二面角－－的余弦值. ()证明 由⊥平面，?平面，故⊥. 由＝，＝＝得△为等腰直角三角形，故⊥. 由∩＝，垂直于平面内两条相交直线，故⊥平面. ()解 由()知，△为等腰直角三角形，
∠＝，如图，过作垂直于，易知＝＝＝，又已知＝，故＝. 由∠＝，得∥，∴＝＝， 故＝＝.
以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则(，，)，(，，)，，(，，)，(，，)，＝(，－，)，＝(－，－，)，＝. 设平面的法向量为＝(，，)， 由·＝，·＝，得 故可取＝(，，).
由()可知⊥平面，故平面的法向量可取为，即＝(，－，). 从而法向量，的夹角的余弦值为 〈，〉＝＝，
故所求二面角－－的余弦值为. .(·重
庆
模
拟
)如图，直三棱柱－中，＝＝＝，＝
⊥，垂足为，为棱上一点，∥平面. ()求线段的长；
()求二面角－－的余弦值. 解()由＝＝，知△为等腰三角形， 又⊥，＝， 故··＝··， 解得＝.
从而在△中，＝＝，故＝－＝.
如图，过点作∥，交于，连接.因为∥，从而＝＝，得＝. 因为∥，∥，故∥，即∥，故与确定平面. 又∥平面，而平面∩平面＝，故∥.
故四边形为平行四边形，从而＝＝，所以＝－＝.
()如图，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则(，，)，(－，，)，(，，)，＝(－，，)，＝(，，).
设平面的一个法向量为＝(，，)，由·＝，·＝，得故可取＝(，，－).
又平面在面上，故可取＝(，，)为平面的一个法向量. 从而法向量，的夹角的余弦值为 〈，〉＝＝.
由图知二面角－－为锐角，故二面角－－的余弦值为. .(·
郑
州
模
拟)等边三角形的边长为，点，分别是边，上的点，且满足＝＝，如图.将△沿折起到△的位置，使二面角－－为直二面角，连接，，如图.
2020版高考数学新增分大一轮新高考专题探究课四 高考中立体几何问题的热点题型 Word版含解析
