高等数学（上）期末复习要点
高等数学上册复习要点
一、 函数与极限 （一） 函数
1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算；
3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点；
f(x)?f(x0)函数f(x)在x0连续 xlim?x0
第一类：左右极限均存在.
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点
5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定
理及其推论.
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限
limxn?a????0, ?N??, ?n?N, xn?a??
n??2） 函数极限
limf(x)?A????0, ???0, ?x, 当 0?x?x0?? 时， f(x)?A?? x?x0??f(x)?limf(x)f(x左极限： 右极限：00)?lim?f(x) ?x?xx?x00第 1 页 共 9 页
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x?x0??limf(x)?A 存在 ?f(x0)?f(x0)
2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）2）
yn?xn?zn(n?n0)
limyn?limzn?a limxn?a
n??n??n??2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量
1） 定义：若lim??0则称为无穷小量；若lim???则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小 Th1 ?~??????o(?);
?????存在，则 lim?lim（无穷小代换） Th2 ?~??,?~??,lim?????4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；
3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：
1sinx1xx?1 b) lim(1?x)?lim(1?)?e a) limx?0x???x?0xx5） 无穷小代换：（x?0） a)
x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx
12b) 1?cosx~x
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c) e?1~x （a?1~xlna）
xxxd) ln(1?x)~x （loga(1?x)~lna）
?(1?x)?1~?x e)
二、 导数与微分 （一） 导数
1、 定义：f?(x0)?xlim?x0f(x)?f(x0)
x?x0f(x)?f(x0)左导数：f??(x0)?xlim ??x0x?x0右导数：f??(x0)?xlim?x?0f(x)?f(x0)
x?x0函数
f(x)在x0点可导?f??(x0)?f??(x0)
f(x)在点?x0,f(x0)?处的切线的斜率.
2、 几何意义：f?(x0)为曲线y?3、 可导与连续的关系： 4、 求导的方法
1） 导数定义； 2） 基本公式； 3） 四则运算；
4） 复合函数求导（链式法则）； 5） 隐函数求导数； 6） 参数方程求导； 7） 对数求导法. 5、 高阶导数
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d2yd?dy?1） 定义：dx2?dx?dx?
??2） Leibniz公式：?uv?（二） 微分
1） 定义：?y?f(x0??x)?f(x0)?A?x?o(?x)，其中A与?x无关. 2） 可微与可导的关系：可微?可导，且dy?f?(x0)?x?f?(x0)dx
三、 微分中值定理与导数的应用 （一） 中值定理
1、 Rolle罗尔定理：若函数
1）
(n)k(k)(n?k)??Cnuv k?0nf(x)满足：
f(x)?C[a,b]； 2）f(x)?D(a,b)； 3）f(a)?f(b)；
则???(a,b),使f?(?)?0.
2、 Lagrange拉格朗日中值定理＊：若函数
1）
f(x)满足：
f(x)?C[a,b]； 2）f(x)?D(a,b)；
则???(a,b),使f(b)?f(a)?f?(?)(b?a). 3、 Cauchy柯西 中值定理：若函数
f(x),F(x)满足：
F?(x)?0,x?(a,b) 1）f(x),F(x)?C[a,b]； 2）f(x),F(x)?D(a,b)；3）
f(b)?f(a)f?(?)?则???(a,b),使
F(b)?F(a)F?(?)
（二） 洛必达法则 （三） Taylor公式
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（四） 单调性及极值
1、 单调性判别法：
f(x)?C[a,b]，f(x)?D(a,b)，则若f?(x)?0，则
f(x)单调增加；则若f?(x)?0，则f(x)单调减少.
2、 极值及其判定定理：
a) 必要条件：f(x)在x0可导，若x0为f(x)的极值点，则f?(x0)?0. b) 第一充分条件：f(x)在x0的邻域内可导，且f?(x0)?0，则①若当x?x0时，f?(x)?0，当x?x0时，f?(x)?0，则x0为极大值点；②若当x?x0时，f?(x)?0，当x?x0时，f?(x)?0，则x0为极小值点；③若在x0的两侧
f?(x)不变号，则x0不是极值点.
f(x)在x0处二阶可导，且f?(x0)?0，f??(x0)?0，则
c) 第二充分条件：
①若f??(x0)?0，则x0为极大值点；②若f??(x0)?0，则x0为极小值点.
3、 凹凸性及其判断，拐点
1）f(x)在区间I上连续，若?x1,x2?I, f(x1?x2f(x1)?f(x2))?，则称f(x)在22x1?x2f(x1)?f(x2))?区间I 上的图形是凹的；若?x1,x2?I, f(，则称f(x)在22区间I 上的图形是凸的.
2）判定定理：f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则 a) 若?x?(a,b),f??(x)?0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的； b) 若?x?(a,b),f??(x)?0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的.
3）拐点：设y?f(x)在区间I上连续，x0是f(x)的内点，如果曲线y?f(x)经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，则称点(x0,f(x0))为曲线的拐点. （五） 不等式证明
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