.
7-15 求z?4?x?y在圆x?y?1上的最大值。
解 fx(x,y)=-3x2,fy(x,y)=-2y，令同时为零，得驻点(0,0)，它恰好在闭区域D的内部，而函数在D内只有一个驻点， 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最大值，所以z?4?x?y在圆x?y?1上的最大值为4。
7-16 生产某产品的数量Q与所用A、B两种原料的数量x、y有函数关系Q(x,y)?5xy，原料A、B的单价分别为100、200元，用15000元购买原料，求产品产量的最大值。 解 从约束条件100x+200y=15000解出y，得到
232223222y=75-1x，将条件极值问题转化为无条件极值问题，即 2Q(x,y(x))=5x2(75-15x)=375x2-x3，令导数为零，解得开区域x>0内唯22一驻点x=50，故x=50,y=50时，取得产品产量的最大值，即
7-17 甲、乙两种产品在销量为x、y时的销售价格分别为P1?16?x，P2?22?y，两种产品的联合成本为C(x,y)?2x?2xy?y?13，求取得最大利润时的两种产品的价格和
销量。
解 最大利润为
22Q(x,y)?x(16-x)+y(22-y)-2x2-2xy-y2-13?16x?3x2?22y?2y2?2xy?13，
??fx?(x,y)?16?6x?2y?0求其偏导数，并解方程组?，求得x1，y5 于是得驻点为
?f(x,y)?22?4y?2x?0??yⅱⅱⅱ(x,y)=-6,fxy(x,y)=-2,fyy(x,y)=-4，在点(1,5)处， (1,5)，再求出二阶偏导数fxxACB224（－2）>0， 又A<0， 所以函数在(1,5)处有极大值f(1,5)=50，取得最大利润50时的两种产品的价格分别为15和17，销量分别为1和5。
2【课外练习】
一、单选题
1．点M?2,?3,1?关于原点的对称点是（ ）。
A．（－2，3，－1） B．（－2，－3，－1）
C．（2，－3，－1） D．（－2，3，1）
2．球面方程x?y?z?2x?2z?0的球心M0及半径R分别为（ ）。
A．M0(1,0,1)，R?2222 B．M0(?1,0,?1)，R?2
C．M0(?1,0,?1)，R?2 D．M0(1,0,1)，R?2 3．在空间直角坐标系中，2x?2y?z的图形是（ ）。
.
22 .
A．球面 B．圆柱面 C．圆周 D．旋转抛物面
4．在空间直角坐标系中，点M1(1,0,2)和点M2(0,3,?2)之间的距离d?（ ）。
A．10 B．24 C．26 D．8
5．平面方程Ax?By?Cz?D?0中，若A?0，则此平面（ ）。
A．平行于YOZ平面 B．过原点 C．平行于x轴 D．过x轴 6．函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处间断，则（ ）。
A．函数在点P0处一定无定义 B．函数在点P0处一定极限不存在 C．函数在点P0处可能有定义，也可能有极限 D．函数在点P0处一定有定义，且有极限，但二者不等 7．设z?f(x,y)，则
?z。 |(x0,y0)?（ ）
?xf(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)f(x0??x,y)?f(x0,y0)A．lim B．lim
?x?0?x?0?x?xf(x0??x,y0)?f(x0,y0)f(x0??x,y0)C．lim D．lim
?x?0?x?0?x?x8． 二元函数z?f(x,y)在点(x0,y0)得满足关系（ ）。
A．可微?可导?连续 B．可微?可导?连续 C．可微?可导，可微?连续 D．可导?连续，反之不行
9．若fx?(x0,y0)?fy?(x0,y0)?0，则f(x,y)在点(x0,y0)处有极值的（ ）。
A． 充要条件 B．必要条件 C．充分条件
D． 既不是充分条件，也不是必要条件
??(x0,y0)，??(x0,y0)，??(x0,y0)，B?fxyC?fyy10．设函数f(x,y)的驻点为(x0,y0)，A?fxx??B2?AC，则(x0,y0)为极大值点的充分条件是（ ）。
A．??0,A?0 B．??0,A?0 C．??0,A?0 D．??0,A?0
二、填空题
x2y2??2z，当pq?0时，则方程表示的曲面为（ ）1．设有曲面方程；当pq?0pq时，方程表示的曲面为_____________。
4x?y22．函数z?的定义域是_______________。 22ln(1?x?y) .
.
3．设f(x,y)?22xyy，则f(1,)?________________。 22x?yx24．设z?xy?xy，而x?ucosv，y?usinv，则5．设z?(2x?y)x?2y?z?z?________，?________。
?v?u，则dz?_______________________。
6．设z?arctan(xy)，则dz?______________________。
7．若函数z?xy，当x?10，y?8，函数的全增量?z?_______；?x?0.2，?y??0.1时，全微分dz?_______________________。
三、判断题
1. 函数z?arccos(x?y)的定义域为x?y?1的那些点。 ( ) 2. 设u?ex2?y2?z22222，而z?xsiny，则
2222?u?2zex?y?z?2x。 ( ) ?x''3. 若点(x0,y0)是z?f(x,y)的极值点, 则一定有fx(x,y)?0.fy(x,y)?0。
( ) 4. 函数f(x,y)?1的定义域是整个平面。 ( ) 222x?2y5. 函数z?f(x,y)在P(x,y)点偏导存在，则在该点一定连续。 ( ) 6. 对z?f(x,y),若Zxy与Zyx都存在,则它们一定相等( )。 ( ) 7. 函数z?f(x,y)的偏导数zx',zy'在点P(x,y)连续，则函数在该点的全微分存在。 ( )
\\四、计算及证明题
1．已知函数f(x，y)＝(x＋1)2y，求f(1，2)。 2．求下列各函数的定义域。
（1）z?xy；
（2）z?xy?1；
（3）z?x?y；
y2?2x； （4）z?22ln(1?x?y)111??； xyz（5）z?ln(y?x)? （7）u?xln(1?x2?y2)（6）u?；
R2?x2?y2?z2?1x?y?z?r2222。
3．证明下列极限不存在。
.
.
x4y4x?y（2）lim； 。 （1）lim(x,y)?(0,0)(x2?y4)3(x,y)?(0,0)x?y4．求下列函数的间断点。
（1）z?1x2?y23（2）z?；
1． x?y5．求下列函数的偏导数。
lnx(1) z=xy-yx ； (2) z=y；
3(3) z=sin(xy)+cos(xy) (4) z?lntan(5) z=ef-q22x； y； (6) u?xy/z。
6．求z＝x＋y在点(0，1)当Δx＝0.1、Δy＝－0.3时的全微分。 7．求z＝ln(xy)在点(2，1)的全微分。 8．求下列函数的全微分：
x+y22(1) u?ln1?x?y； (2) u=ecosxcosy； (3) u?a2?x2?y2?z2； (4)u?xysin(1/x2?y2)； (5) u＝xyz； (6)u＝2。 9．求下列函数的二阶偏导数。
x(1) z＝xln(xy)； (2) z＝y。
x??(0,π)，fyy??(0,π)。 ??(0,π)，fxy10．f(x，y)＝esiny，求fxxx?2u?2u?2u11．若u?zarctan，证明2?2?2?0。
y?x?y?zxyduax1)2，求。 12．设u?arctan、y＝e、z＝(ax＋zdxdz213．设z＝ln(x＋y)、y＝lnx，求。
dx?z?z1214．设z?，x＝3t＋s，y＝4t＋sins，求、。
x?y?t?s15．f、g有一阶连续偏导数，求下列函数的一阶偏导数。
yxy(1) z?exyf(x2?y2,)； (2) z?f(xy)?g(x?y)。
xyx16．设u＝ln(x＋y＋z)、z＝e，求一阶偏导数。 ?w?w?w?y17．设w。 ＝F(xy，yz)，F有连续偏导数，证明x?z?x?z?y18．作一个三角形，使其三内角的正弦之积为最大。
19．求半径为R的圆内接最大面积的三角形。
xyyzxxyz【课外练习】 参考答案
一、单项选择题
1. A 2. A 3. B 4. C 5. C 6. C 7. C 8. C 9. D 10. D
二、填空题
1. 椭圆抛物面；双曲抛物面 2. {(x,y)|4x?y2?0,1?x2?y2?0,x2?y2?0}
.
.
3.
2xy2 4. 3usinvcosv(cosv?sinv)，?2u3sinvcosv(sinv?cosv)?u3(sin3v?cos3v) 22x?y5. [2x?4y?(2x?y)ln(2x?y)](2x?y)x?2y?1dx?[x?2y?(4x?2y)ln(2x?y)](2x?y)x?2y?1dy
?y2e?xy(ez?2)2?y2e?2xy?zydx?xdy6. 7. 0.502 8. 9. 0.58，0.60
(ez?2)31?(xy)2三、判断题
1.是 2.错 3.错 4.错 5.错 6.错 7.是
四、计算及证明题
1. f(1,2)?(1?1)?2?8
2?x?0?x?02． （1） 由xy?0，得?或?
y?0y?0??（2）由??y?1?0?y?1，得?
????x???????x????x?0???x?y?0（3） 由?，得?y?0
??x2?y?y?0??y2?2x?02???2x?y22（4）由?1?x?y?0，得?
22??1?x2?y2?1?0?x?y?1??y?x?0?x?0?(5) 由?，得 22?1?x?y?0?1?x2?y2?1??x?0?(6) 定义域为：?y?0
?z?0?2222??R?x?y?z?0(7) 由?2，得 222??x?y?z?r?03．(1) 当(x,y)沿y?0趋于点(0,0)时，limx?yx?lim?1
x?0x?yx?0xy?0x?yy?lim??1 y?0x?y?y
当(x,y)沿x?0趋于点(0,0)时，limx?0y?0 .
多元函数微分学习题
