.
解 （1）
?z?z?x2cosy ?2xsiny ?y?x?z?z?xylnx ?yxy?1 ?y?x?z1?zx?y? ?x?2 ?xy?xy?z1?z?2y?? ?x1?(x?y2)2?y1?(x?y2)2?z?z??6x2y?4y3 ?4x3?6xy2 ?y?x （2）
（3）
（4）
（5）
?zx2?z12??2xln?x?y??x（6） ?yx?y ?xx?y?zx22x?zx2x2（7）?x?secy?y ?y?secy?(?y2)
?z?z1lnxlnx?y?(lnx?1) ?y?lny?（8）?x ?yx?（9）令y?0，f(x,0)?2lnx，则fx(1,0)?2
（10）令y?1，f(x,1)?x，则fx?(x,1)?1
?2z?2z?7-3设z?x，验证。 ?x?y?y?xy?z2?zy?1?xy?1?yxy?1lnx 解 ?yx ,
?x?y?x?z2?zy?xy?1?yxy?1lnx ?xlnx ,
?y?x?y7-4 求下列函数的二阶偏导数。 （1）z=xln(xy)； （2）z?x4?3x2y2?y4；
yy ； （4）z?(1?xy)。 x（3）z?arctan?2zy1?zy===ln(xy)+x=ln(xy)+1解 （1），?x2xyx ?xxy .
.
x?zxx?2z=-=x= ?yy2 xyy，?y22?z32?z?4x?6xy,2?12x2?6y2 （2）?x?x?z （3）??xyy?2z2xy (?)??,?22222222xx?y?x(x?y)?y?1????x?12?z2y?1?z?y(1?xy),2?y3(1?xy)y?2 （4）?x?xx??(0,π)，fyy??(0,π)． ??(0,π)，fxy7-5 设f(x,y)?esinyf，求fxx???esiny,fyy????esiny,fxy???ecosy 解 fx??esiny,fy??ecosy,fxx??(0,π)?0，fxy(0,π)=-1，fyyⅱ(0,π)=0 ⅱ fxx7-6 证明
（1）设z?ln(x?xxxxxy)，证明x?z?z1?y?。 ?x?y2（2）设z?yx?z?zarcsin，证明x?y?0。 xy?x?y7-7 计算全增量或全微分。
（1）求函数z?xy在点(2,?1)处，当?x?0.02,?y??0.01时的全增量与全微分； （2）求当x?2,y?1,?x?0.01,?y?0.03时，函数z?22xy的全增量与全微分；
x2?y2（3）求z?x?y在点(0,1)当?x?0.1,?y??0.3时的全微分； （4）求z?ln(xy)在点(2,1)的全微分。
解 （1）全增量?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0) 全微分dz?2?z?zdx?dy?2xy2dx?2x2ydy ?x?y （2）全增量?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0) 全微分dz??z?zdx?dy ?x?y .
.
（3）全微分dz??z?zdx?dy ?x?y?z?zdx?dy ?x?y （4）全微分dz?7-8 计算全微分。 （1）z?esin(x?y)； （2）z?xx2?y2；
（3）z?xy?xy；
（4）u?ln1?x2?y2。 解（1）
?z?z?ex?sin(x?y)?ex?cos(x?y),?ex?cos(x?y) ?x?y （2）
?z??xxx?y22,?z??yyx?y22
（3）
?z1?zx?y?,?x?2 ?xy?yy1?u12x?u12yln(1?x2?y2),??,?? 22222?x21?x?y?y21?x?y （4）u?7-9 求下列多元复合函数的偏导数。 （1）z?ln[e2(x?y)?(x2?y)] , 求
2?z?z和； ?x?y?u?u及； ?x?y（2）设u?(x?y),z?x?y,(x?y?0)，求
z22（3）设u??(x?y)，求证x22?u?u?y?0； ?y?x（4）设 z?f(x?y,xy)，求
222?z?z和； ?x?y（5）设z?uv,u?cosx,v?sinx，求
dz； dx .
.
（6）u?x?4xy?3y,x?t,y?2221du, 求； tdt?z?z和； ?x?y（7）z?uv?uv,u?xcosy,v?xsiny,求
2（8）z?xlny,x?v?z?z,y?3v?2u，求和； u?u?vx（9）z?arctan(xy),y?e,求
?z?z和。 ?x?y解 （1）
?z12(x?y2)?2(x?y2)?[e?2?2x]
2?xe?(x?y) （2）
?u?f?f?f?z??1??0???z(x?y)z?1?(x?y)zln(x?y)?2x ?x?x?y?z?x22 （3）令t?x?y,?u???u????2x,??2y ?x?t?y?t（4）令u=x?y,v?xy
22?z?f?u?f?v?f?f??????2x??y ?x?u?x?v?x?u?vdz?zdu?zdv （5）?????2uv?(?sinx)?u2?cosx
dx?udx?vdx则（6）
du?udx?udy2y2x1?????(1?)?2t?(?3)?(?2) dt?xdt?ydttxyxy（7）
?z?z?u?z?v?????(2uv?v2)?cosy?(u2?2uv)?siny ?x?u?x?v?x?z?z?x?z?yvx2?????2xlny?(?2)??(?2) （8）
?u?x?u?y?uuy （9）
?z11x?y?xe 22?x1?(xy)1?(xy)x27-10对下列函数求y?x。
（1）xy?lny； （2）siny?e?xy?0； （3）xy?lnx?lny?0； （4）x?3y?1。 解 （1）令F(x,y)?xy?lny 则
46?F?F?ex?y2,?cosy?ex?2xy ?x?yx2（2）令F(x,y)?siny?e?xy,
.
.
?F?F1?y,?x? ?x?yy（3）令F(x,y)?xy?lnx?lny
?F1?F1?y?,?x? 则?xx?yy46（4）令F(x,y)?x?3y?1
?F?F?4x3,?18y5 则?x?y 则
7-11 对下列函数求z?y。 x、z?z（1）e?xyz； （2）x?y?z?3xyz?0；
333（3）xy?zlnz； （4）zy?xz?1。
z解 （1）令F(x,y,z)?e?xyz，则Fx???yz,Fy???xz,Fz??e?xy
z23 （2）令F(x,y,z)?x?y?z?3xyz
则Fx??3x?3yz,Fy??3y?3xz,Fz??3z?3xy
222333 （3）令F(x,y,z)?xy?zlnz
则Fx??y,Fy??x,Fz???lnz?1
（4）令F(x,y,z)?zy?xz?1
则Fx???z,Fy??z,Fz??2zy?3xz
322237-12 容积为V的开顶长方水池，求表面积的最小值。 解 设长方形水池的长为x，宽为y，则高为h?V，其表面积为 xy2V??z?y??0x?x2?由?，解得x?y?32V ?zy??x?2V?02y??3V2V3所以，当x?y?2V，h?时，表面积最小。 ?3224V7-13 容积为V的开顶圆柱水池，单位面积造价底部为侧部的3倍，求总造价最小值。
V，假设单位面积造价为1，则总造价 ?r2Vdz2V令 ??2?6?r?0，解得r?33?drrV9V所以，当r?3，h?3，其总造价最小。
3??27-14 求抛物线y?x上的点与直线x?y?2上的点之间的最短距离。
|x?y0?2|2解 点?x0,y0?到直线x?y?2?0的距离公式为d?0，又已知y0?x0
217(x0?)2?2|x?x?2|24，则最短距离为72。 d?00?822解 设圆柱的半径为r，则高为h? .
多元函数微分学习题
