多元函数微分学习题

由天下分享时间：2025/1/13 9:02:11 加入收藏我要投稿点赞

第七章多元函数微分学

【内容提要】

1.空间解析几何基础知识

三条相互垂直的坐标轴Ox、Oy、Oz组成了一个空间直角坐标系。空间直角坐标系下两点间的距离公式为：平面方程：Ax+By+Cz+D=0

222Ax+By+Cz+Dxy+Eyz+Fzx+Gx+Hy+Iz+K=0 二次曲面方程：

球面方程：?x?x0???y?y0???z?z0??R2222

圆柱面方程：x?y?R

222x2y2z2a,b,c>0) 椭球面方程：2+2+2=1，(abcx2y2椭圆抛物面方程：2+2=z,(a,b>0)

abx2y2双曲抛物面方程：2-2=z,(a,b>0)

abx2y2z2单叶双曲面图方程：2?2?2?1(a，b，c＞0)

abcx2y2z2双叶双曲面方程：2+2-2=-1,(a,b,c>0)

abcx2y2z2椭圆锥面方程：2+2-2=0,(a,b,c>0)

abc2.多元函数与极限

多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D的每一对值(x,y)，在变域M中存在z值，按一定对应法则f进行对应，有唯一确定的值，则称f为集合D上的二元函数，

记为

x,y称为自变量，D称为定义域，z称为因变量。(x,y)的对应值记为f(x,y)，称为函数

值，函数值的集合称为值域。

多元函数的极限：设函数f(x,y)在开区间（或闭区间）D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e，总存在正数d，使得对于适合不等式的一切点P(x,y)?D，都有

成立，则称常数A为函数f(x,y)当xx0,yy0时的极限，记作

多元函数的连续性：设函数z=f(x,y)在区域D内有定义，点P0(x0,y0)是D的内点或边界点且P0?D。如果

则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续。

3.多元函数的偏导数与全微分

偏导数：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在

x0处有增量Dx时，相应地函数有增量

如果极限

存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作

?xx?x， ?f0?xx?x， z，或y?yy?y0xx?x0f0)

0y?yx(x0,y0同理，如果极限limf(x0,y0+Dy)-f(x0,y0)Dy?0Dy

存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数，记作

?zf?yx?x，

?yx，或f(xy?y00?yx?x， 0zy?y0y==xy0y0,y0)

04.二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数的几何意义

fx(x0,y0)是过曲面z=f(x,y)上点M0(x0,y0,f(x0,y0))的曲线

在点M0处的切线Tx对x轴的斜率。

5．二阶偏导数

??x(?z?x)??2z?x2?fxx(x,y)，??y(?z?x)??2z?x?y?fxy(x,y)，

??x(?z?y)??2z?y?x?fyx(x,y)，??y(?z?y)??2z?y2?fyy(x,y)。

如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数?2z?2z?y?x及?x?y在区域D内连续，在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

6.全微分

如果函数z=f(x,y)在点f(x,y)的全增量

那么

可表示为

其中A、B不依赖于Dy 而仅与x、y有关，则称函数z=f(x,y)在点f(x,y)x、D可微分，而称ADx+BDy为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz，即

如果函数z=f(x,y)的偏导数

?z、?z在点(x,y)连续，则函数在该点可微分。

?x?y7.复合函数微分法

复合函数的中间变量均为一元函数的情形

如果函数u=j(t)及v=y(t)都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z=f(j(t),y(t))在点t可导，且有

复合函数的中间变量均为多元函数的情形如果函数u

y)都在点(x

y)具有对x及y的偏导数

函

数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数y)]在点(x y)的两个偏导数存在

且有

则复合函数zf [(x y)， (x

8. 全微分形式不变性

无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的,这

个性质叫做全微分形式不变性。

9. 隐函数微分法

在点(x0,y0)的某邻域内，若函数F(x,y)有连续的偏导数Fx￠、Fy?，且F(x0,y0)=0，则在Fy?(x0,y0)≠0时，方程F(x,y)=0确定唯一的、有连续导数的函数y=f(x)，满足y0=f(x0)及F(x,f(x))=0。

这个定理称为隐函数存在定理。隐函数存在定理给出了隐函数求导的方法，即

?dy?0，由F(x,y)=0，两边全微分得Fx?dx?FyF?dy??x。由Fy?≠0，得到隐函数的导数为

?dxFy10. 二元函数的极值

设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于

(x0,y0)的点(x,y)，都有

f(x,y)f(x0,y0)）

则称函数在点(x0,y0)有极大值(或极小值)f(x0,y0)。

极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。

设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则有

fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0

设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又

fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0，令

则在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：

(1) ACB2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值； (2) ACB2<0时没有极值；

(3) ACB20时可能有极值，也可能没有极值。极值的求法：第一步解方程组

fx(x,y)=0，fy(x,y)=0

求得一切实数解，即可得一切驻点。

第二步对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A、B和C。

第三步判断ACB2的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。

11.多元函数的最大值、最小值

如果f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值。这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部，也可能在D的边界上。我们假定，函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在D的内部取得最大值（最小值），那么这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）。因此，求最大值和最小值的一般方法是将函数f(x，y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。

12. 条件极值拉格朗日乘数法

对自变量有附加条件的极值称为条件极值。

一般地，考虑函数z=f(x,y)在限制条件g(x,y)=0下的极值问题，称为条件极值问题．考虑极值的函数z=f(x,y)称为目标函数，考虑的限制条件g(x,y)=0称为约束条件．没有约束条件的极值问题，称为无条件极值问题．若能从约束条件g(x,y)=0解出

y=y(x)，则条件极值问题可以转化为函数z=f[x,y(x)]的无条件极值问题。

拉格朗日乘数法

要找函数z=f(x,y)在条件j(x,y)=0下的可能极值点，可以先构成辅助函数

F(x,y)=f(x,y)+lj(x,y)，

其中为某一常数。然后解方程组

?Fx(x,y)?fx(x,y)???x(x,y)?0??Fy(x,y)?fy(x,y)???y(x,y)?0。 ???(x,y)?0由这方程组解出x， y及，则其中(x,y)就是所要求的可能的极值点。

13. 最小二乘法简介

变量x、y满足线性方程y=ax+b，其中，a、b需要确定．通过试验测得x、y的n组对应值：(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)，建立计算值与实测值之差的平方和函数，得到

则Q的意义是很明显的，它等于各点离开直线y=ax+b的偏差平方和，反映了各点关于直线的偏离情况。视Q为a、b的函数，求Q的最小值，确定出线性方程的系数a、b，这就是通常所说的最小离差平方和原则，又称最小二乘法原则。