?Lf?x,y?ds??f?x?t?,y?t??x??t??y??t?dt22????。
(2) 若曲线L的方程为y?y?x??a?x?b?且y??t?在?a,b?连续，f?x,y?L上连续，则
?Lf?x,y?ds??f?x,y?x??1?y??x?dx2ab??。
(3) 若曲线L的极坐标方程为??????(?????)，且?????在??,??上连续，
f?x?在L上连续，则
?Lf?x,y?ds??f??cos?,?sin???2????????d???。
(4) 若空间曲线L的方程为x??t?，y??t?，z??t?在??,??上连续f?x,y,z?在L上连续，则
?Lf?x,y,z?ds??f?x?t?,y?t?,z?t???x??t????y??t????z??t??dt222??。
(二) 对坐标的曲线积分
i?11．定义：
???????F?Px,yi?Qx,yj沿有向弧段L所作的功，即 义是变务
??W??Fds??P?x,y?dx?Q?x,y?dyLL
??P??,???x?P?x,y?dx?Q?x,y?dy?lim?L?0iini?Q??i,?i??yi?其物理意
2．性质：除了与弧长的曲线积分相同的性质外，应注意方向性
?P?x,y?dx?Q?x,y?dy???P?x,y?dx?Q?x,y?dy
L?L3．计算：
(1) 若曲线L的参数方程为x?x?t?，y?y?t?，且曲线L的起点和终点所对应的t的值为?和?，又x??t?，y??t?在??,??或??,??上连续，P?x,y?，Q?x,y?在
L上连续，则
?LP?x,y?dx?Q?x,y?dy?????P?x?t?,y?t??x??t??Q?x?t?,y?t??y??t??dt
(2) 若曲线L的直角坐标方程为y?y?x?，且曲线L的起点和终点所对应的x的值为a和b，又y??x?在?a,b?或?b,a?上连续，则
?LP?x,y?dx?Q?x,y?dy???P?x,y?x???Q?x,y?x??y??x??dxab
(3) 若空间曲线L的参数方程为x?x?t?，y?y?t?，z?z?t?，且曲线L的起点和终点所对应的t的值为?和?，又x??t?，y??t?，z??t?在??,??或??,??上连续，则
?LP?x,y?dx?Q?x,y?dy?Rdz?????P?x?t?,y?x?,z?t??x??t??Q?x?t?,y?t?,z?t??y??t??Q?x?t?,y?t?,z?t??z??t??dt
(三) 格林公式，曲线积分与路径无关的条件 1．格林公式
设P?x,y?和Q?x,y?及一阶导数在闭区域D上连续，则有
??P?Q?????Px,ydx?Qx,ydy???x??y?dxdy?L???D? 其中分段光滑曲线L是区域D的正向边界。
2．四个等价命题
若P?x,y?，Q?x,y?在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则在D内下列四个命题相互等价：
(1) 曲线积分?L线；
(2) 沿D中任一分段光滑闭曲线L有?LP?x,y?dx?Q?x,y?dy?0P?x,y?dx?Q?x,y?dy与路径无关，其中L是D中分段光滑曲
。
?P?Q?(3) 对D内的任一点?x,y?有?x?y。
(4) 在D内存在一函数U?x,y?使dU?P?x,y?dx?Q?x,y?dy，则有
U?x,y????x,y??x0,y0?P?x,y?dx?Q?x,y?dy
L3．两种曲线积分之间的关系?LP?x,y?dx?Q?x,y?dy???Pcos??Qcos??ds其中cos?，cos?是L上任一点L方向上的切向量的方向余弦。
(四) 对面积的曲面积分
1．定义：
?f??,???s??f?x,y,z?dx?lim???0iii?1ni，其中?si(i?1,2,?,n)是曲面块
?上的第i个块的面积
??max??si?1?i?n。
物理意义是密度f?x,y,z?的曲面块S的质量
M???f?x,y,z?ds?当
f?x,y,z??1时为面积。
2．计算
D若曲面?可用单值函数z?z?x,y?表示设xy为在xoy平面上的投影区域，则
???f?x,y,z?ds?Dxy??22f?x,y,z?x,y??1?zx?zydxdy
D若曲面?的方程为单值函数x?x?y,z?若y?y?x,z?，设yz和Dxz为?在yoz平面
和xoz平面上的投影，则曲面积分可类似地化成重积分：
??f?x,y,z?ds???f?x?y,z?,y,z??Dyz21?xy?xz2dydz
21?yx?yz2dxdz或
??f?x,y,z?ds???f?x,y?x,z?,z?DDxz
(五) 对坐标的曲面积分 1．定义：
??P?x,y,z?dydz?Q?x,y,z?dxdz?R?x,y,z?dxdy?n
?lim?P??i,?i,?i???si?yz?Q??i,?i,?i???si?xz?R??i,?i,?i???si?xy??0i?1
其中
??si?xy表示?的第i子块?si在xoy平面上的投影，??si?yz，??si?xz含义类似
。
??max??si的直径?1?i?n义：设流体密度为1，流速为
????v?x,y,z??P?x,y,z?i?Q?x,y,z?j?R?x,y,z?k，则单位时间内流进有向曲面?指定一侧的流量为
物理意
????P?x,y,z?dydz?Q?x,y,z?dxdz?R?x,y,z?dxdy?
2．计算
若曲面?的方程为z?z?x,y?，则
??P?x,y,z?dydz????R?x,y,z?x,y??dxdy?Dxy(当
?为曲面的上、下侧时分别取正、负号)
类
?似地
Dyz，若曲面
?的方程为
x?x?y,z?则
??P?x,y,z?dydz????P?x?y,z?,y,z?dydz(当?为曲面的前、后侧时分别取正、负号)
?DxzQ?x,y,z?dxdz????Q?x,y?x,z?,z?dxdz??若曲面?的方程为y?y?x,z?则(当?为
曲面的右、左侧时分别取正、负号)
3．两类曲面积分的关系
??Pdydz?Qdxdz?Rdxdy????Pcos??Qcos??Rcos??ds??
其中cos?，cos?，cos?是有向曲面?上点?x,y,z?处的法向量的方向余弦。
(六) 高斯公式
设空间闭区域?由分片光滑的闭曲面?所围成，函数P?x,y,z?、Q?x,y,z?、
R?x,y,z?在?上是有一阶连续偏导数，则
??P?Q?R??Pdydz?Qdxdz?Rdxdy????????x?dy??z??dxdudz???? 其中?中?的整个边界的外侧。
(七) 斯托克斯公式
设?为分段光滑的有向空间闭曲线，?为以?为边界的分片光滑的有向曲面，?的正向与?的侧符合右手法则，函数P?x,y?、Q?x,y,z?、R?x,y,z?在包含曲面?在内的一个空间区域内是有一阶连续偏导数，则有
??R?Q???P?R???Q?P???????dydz??dzdx?????y?z???z?y???x??y??dxdy???????
??Pdx?Qdy?Rdz?
(八) 通量与散度、环量与流量
???设向量场??x,y,z??P?x,y,z?i?Q?x,y,z?j?R?x,y,z?k通量(或流量)
?????????nds??n，其中??cos?,cos?,cos??为?上点?x,y,z?处的单位法向量。
??P?Q?Rdiv?????x?y?z 散度：
对坐标的曲面积分与?的形状无关的充要条件是散度为零。 ??ijk????rot???x?y?zPQR 旋度：
Pdx?Qdy?Rdz?????环流量：向量场沿有向闭线的环流量为
二、基本要求
(一) 理解曲线、曲面积分的定义，掌握曲线、曲面积分的计算方法； (二) 掌握第二类曲线、曲面积分与路径、形状无关的条件及其判断方法； (三) 了解通量与环流量与旋度的概念，并掌握它们的计算方法； (四) 掌握各类曲线、曲面积分之间的关系；
(五) 掌握曲线、曲面的积分的有关应用(求面积、求曲线段和曲面块的重心坐标等)；
(六) 掌握高斯公式和斯托克斯公式及其应用。 三、注意的几点
(一) 第一类曲线积分的计算应掌握弧长微分的基本公式ds??dx?2??dy?2所有形式的计算公式均可由此推出，第一类曲面积分也有类的公式。
(二) 第二类曲线积分与积分曲线的方向有关
?LPdx?Qdy????Pdx?QdyL
第二类曲面积分与曲面空间有关
??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????Pdydz?Qdzdx?rdxdy???
(三) 第一类曲面积分的计算时，应注意“一投、二代、三换”以及利用积分区域的对线性和被积函数的第二类曲面积分的计算应注意“一投、二代、三定号”。
(四) 利用第二类曲线积分求平面图形面积是格林公式的一个简单应用可利下面各式计算
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