?2z?2z?2?a2?a2u2?v2z?02?v即?u
??7．设z?z?x,y?由
xz?lnz??d?ty2x2?2zdt?0确定，求?x?y。
解：由
z?lnz??e?tdt?0y两边对x求导：
?z1?z?x2??e?0?xz?x ?zze?x??xz?1 (1) 从而
2 原式两边对y求导
?z1?z?y2??e?0?yz?y
?zze?y???yz?1 (2) 从而
(1)式两边对y求导
2?z?x2?x2?z??ez?1?ze?2z?y?y??x?y?z?1?2
??z?z?1?2?y e?x2
将(2)代入得：
?2zze??x?y????x?y?1?z?3
22
第九章 重积分学习指导
一、知识脉络
?1.重积分的定义?重积分?1?在直角坐标系中计算二??2.二重积分的计算?积分?2?在极坐标系中计算二重??3?利用一般变换计算二重积分???重积分?1?在直角坐标系中计算三??3.三重积分的计算?2?通过柱面坐标变换计算三重积分????3?通过球面坐标变换计算三重积分????1?求曲面积分重???2?求非均匀物体质量???4.重积分的应用?3?求非均匀物体的重心?积?4?求非均匀物体的转动惯?量???引力?5?求非均匀物体对质点的分 ??
二、、重点和难点
1．重点：求二重积分、求三重积分
2．难点：将二重积分化为二次积分，将三重积分化为三次积分 三、问题与分析
1．重积分中有4个关键步骤：①任意分割积分区域；②在分割后的小区域中任意取点；③求和；④求极限；
2．计算重积分的关键是化为累次积分，根据具体题目，要能正确选择坐标系以及要正确考虑积分的先后次序；
????fx,y?03．二重积分的几何意义：①当时，Df?x,y?d?表示以曲面
z?f?x,y?为顶，以D为底的曲顶柱体体积；②当f?x,y??1时，??D积；
d??D的面
4．二重积分的物理意义：当f?x,y?表示平面薄片D的面密度时，
??f?x,y?d?D表示D的质量；
5．三重积分的物理意义：当f?x,y,z?表示空间立体?的体密度时，
???f?x,y,z?dv?表示?的质量。
四、计算二重积分时，应注意的问题
221．选系：当积分区域是圆域或圆域的一部分，被积分函数含有x?y或两
xy个积分变量之比x，y时，一般可选用极坐标系来计算；
2．选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，先对哪个变量积分较好； 3．积分区域的对称性与被积函数的奇偶性的正确配合，例如当积分区域关于x轴对称时，应配合被积函数关于y的奇偶性；
4．特例：当被积分函数的变量可分离，并且积分区域为两邻边分别与两坐标轴平行的矩形时，则二重积分可化为两个定积分的乘积。 五、解题示范
例1： 改变二次积分?02dy?2yy2f?x,y?dx的积分次序。
?0?x?4??0?y?2?x?2?y?x?y?x?2y解：积分区域D：?改写为D：?2
故
?20dy?2yy2f?x,y?dx??dx?xf?x,y?dy024x。
例2：计算区域。
I???Dsinydxdy2y，其中D是由直线y?x及抛物线x?y所围成的
?0?y?1?2解：积分区域D为：?y?x?y，于是
I??dy?011siny11siny2dx?y?ydy?sinydy?ysinydy?1?sin1???y2000yy y???0?x?1?注意：如果先对y后对x积分，此时D为?x?y?x，于是
I??dx?01xxsinydyy。
siny由于y的原函数不能用初等函数表示，积分难以进行，故本积分不能按
此次序。
例3：计算
I???eD?x2?y2dxdy22x?y?1。 D，其中为
?0?r?1?解：用极坐标，此时D为：?0???2?
I???eD?r2于是
rdrd???2?0d??e01?r2?1?rdr???1???e?
注：如用直角坐标，则由于步计算。
?xe?dx2不能用初等函数表示，积分就难以进一
dxdydz3?????1?x?y?z?z?0，x?y?z?1例4：计算，其中?为平面x?0，y?0，
所围成的四面体。
?0?x?1??0?y?1?x?0?z?1?x?y解：积分区域?为?，于是
??dx?0111?x0原式
dy?1?x?y0dz?1?x?y?z?3
??dx?01?x0?11?1dx????dy2?82?1?x?y?? ?1?1111??????1?x???dx?08421?x??
?
1?5?ln2???2?8?。
例5：求域。
???zdv?2222，其中?是由曲面z?2?x?y及z?x?y所围成的区
?0???2???0?r?1?22r?z?2?r??解：积分区域为，于是 原式
??2?0d??rdr?012?r2r2zdz
?2??1r2?r2?r4dr02
1???7?12
例6：求定。
???zdv?222222??x?y?zx?y?z?a?a?，其中由不等式，所确
2?0???2????0????4??0?r?2acos? 解：直角坐标变换为球面坐标，于是?为?故原式
????rcos??r2sin?drd?d??
??2?0?d??sin?cos?d??402cos?0r3dr
??2??4sin?cos??01?2acos??4d?4
7??a4 6。
第十章 曲线积分与曲面积分学习指导
一、内容提要
(一) 对弧长的曲线积分
1．定义：小弧段的弧长
?f??,???s?f?x,y?dx?lim?L?0iii?1ni，其中?si?i?1,2,?,n?表示第i个
??max??si?1?i?n。
2．性质：具有与定积分类似的性质。如线性性质，对积分路径的可加性等。 3．计算：
(1) 若曲线L的界数方程为x?x?t?，y?y?t?(??t??)且x??t?，y??t?在
??,??上连续，f?x,y?在L上连续，则
大学高等数学(2)复习资料 - 超经典-剥壳例题哦教学教材
