第六章 定积分的应用学习指导
一、基本内容 （一）微元法
根据问题的具体情况选取积分变量x及变化区间，再小区间?x,x?dx?。求出
u??f?x?dxa部分量的近似值的积分元素du?f?x?dx，从而求出所求量。 （二）平面图形的面积
1．由平面曲线y?f?x?，直线x?a，x?b和y?0所围图形的面积：
bA??baf?x?dx。
2．由平面曲线y?f1?x?，y?f2?x?和直线x?a，x?b所转图形的面积：
A??baf1?x??f2?x?dx。
3．由极坐标曲线??????， ???、???转的图形的面积：
A????12????d?2。
4．由参数方程x?x?t?，y?y?t?给出的曲线和直线x?a??x????，
x?b??x????，y?0所围图形的面积：
SA??（三）体积
1．由曲线y?f?x?和直线x?a，x?b，y?0所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积：
baydx????y?t?x??t?dt。
Vx????f2?x?dxab。
2．由曲线x?x?y?和直线y?c，y?d，x?0所围图形绕y轴旋转一周所得旋转体积：
Vy???x2?y?dycd。
3．垂直于x轴的平行截面面积为x的函数A?x?的立体的体积：
V??A?x?dxab。
（四）平面曲线的弧长
1．直角坐标曲线y?f?x?0?x?b：
L??ba1??f??x??dx2。
2．参数方程曲线x?x?t?，y?y?t?，??t??：
L?????x??t??2??y??x??2dt。
3．极坐标曲线??????，?????：
L????r2???????????d?2。
（五）定积分在物理上的应用
对实际问题先取积分变量，积分区间，求出所求量的微元，利用微元法求解。
二、基本要求
1．掌握利用定积分求解问题的基本方法——微元法。
2．会用定积分计算一些平图形的面积，旋转体的体积和曲线的弧长。 3．能利用定积分解决有关数学和物理上的一些问题。
三、重点和难点
重点：用定积分求解的方法——微元法，计算平面图形的面积，旋转体的体积和曲线的弧长。
难点：用微元法解决有关问题。
四、注意的问题
本章的学习应注意在掌握微元法上下功夫，掌握了微元法，有关公式的掌握和证明就轻而易举了。
五、典型例下题
2例1：计算抛物组y?2x与直线y?x?4所围图形的面积。
y y?x?4 B?8,4? O A?2,?2? y 2y?2x 解：作出图形，求交点坐标：
?y2?2x?解方程组：?y?x?4， 得交点坐标A?2,?2?，B?8,?4?。 此图形可看成由
x?12y2，x?y?4及
y??2和y?4围成，选择y为积分变量较为方便（原则系分区间积分）应用公式的所求面积为：
1?1???1A????y?4??y2?dy??y2?4y?y4??18?22?6??2??2。
44x2y2?2?12b例2：求椭圆a所围成的图形面积。
解：椭圆关于两坐标轴均对称，故面积为A?4A1，其中A1为该椭圆在第一象限部分与坐标辆所围图形的面积。
利用参数方程x?acost，y?bsint，在第一象限为：
0?t??2，于是所求面积
A?4A1??ydx?4??bsint??asint?dt02a0
??220
?4ab?sintdt?4ab?201?1?cos2t?dt2
?1?1?2?4ab?t?sin2t???ab4?2?0
当a?b时，得圆的面积?a。
y 2y?2?x 例3：求曲线及直线y?x，
2 A?1,1? O x x?0(x?01)所围图形绕x轴、y轴旋转一周所得旋转体的体积。
解：作出图形，求解交点：
?y?2?x2?解方程组：?y?x 得交点坐标A?1,1?。
从而可求的绕x辆和绕y轴旋转所得的旋转体体系Vx和
Vy
Vx???2?x01?22?dx???10xdx???4?5x2?x2dy021??
51?38????4x?x3?x5???35?015 ?
1Vy???y2dy????2?y?dy01212
111?115???y3???2y?y2???????02?1326。 ? 3注：求体积进常需进行适当的公解或组合。
?x?a?t?sint??例4：求摆线?y?a?1?cost??0?t?2???a?0?的弧长。
2222????????????????xt?yt?a1?cost?asint解：∵
?a2?2?2cost??2a2?2sin2tt?4a2sin222
于是所求弧长
L??2?0?x??t??2??y??t??2dt??02?t2asindt2
?R t??4acos?8a20
例5：一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面成?角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。
解：建立坐标如图
2?O ? C y A ? B R x ?x???R,R?上过x轴上坐标为x的点且与x轴垂直的平面截立体得截面?ABC。
易知面积 S?x??111AB?BC?y?ytg??tg?R2?x2222
??从而所求体积：
111??V??tg?R2?x2dx?tg??R2x?x3??R223??R ?R??R
?23Rtg?3。
例6：一倒圆锥形容器，高为h，底半径R，容器内盛满水，试问要把桶内的水全部吸出需作功多少？
解：作轴截面图如图，取积分变量x积分区间为?0,h?。
?x??0,h?，取小区间?x,x?dx?相应于此小区间这一薄层水的高度为dx水的比重为9.8kN/m，因此x的单位为米。这薄层水的重量为
9.8?R?R?y?x??9.8?xdx?9.8??dx??h2?h?2223?h?x?2dx（这里r是三角形的所此求
O r x r dx 的）。
故这薄层水吸容器外需作为微功为：
9.8?R29.8?R222????dW?xh?xdx?xh?xdx22hh
h x 于是所求的功为：
W??h09.8?R22dW??hx?2hx2?x3dx20h
h??9.8?R2?h249?R2h2?1222314??hx?hx?x??34?060?2(
hKJ)
第七章 空间解析几何与向量代数
在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，并以坐标和向量为基础，用代数的方法讨论空间的平面和直线，在此基础上，介绍一些常用的空间曲线与曲面。通过这一章的学习，培养空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。也为学习多元微积分做准备。
重点：曲面方程，曲线方程
大学高等数学(2)复习资料 - 超经典-剥壳例题哦教学教材
