直纹曲面是可展曲面的一个充要条件
摘要：可展曲面是直纹面的一种类型，可展曲面就是沿每一条直母线只有一个切平面.通过
几何分析方法，讨论了直纹曲面，给出了直纹曲面是可展曲面的一个充分切必要条件，
说明直纹曲面S:r(u,v)??(u)?ve(u)是可展曲面，其充要条件是：沿准线C:v?0,r??(u)，曲面S是它的切平面的包络面，并且给出了这个定理应用的两
个例子.
关键词：直纹曲面 可展曲面 包络面
1直纹曲面与可展曲面
我们知道由动直线产生的曲面为直纹曲面，动直线为该直纹曲面的直母线。如柱面、锥面、一条曲线的切线曲面等都是直纹曲面。文献[1]利用曲线测地挠率与曲线挠率的关系来刻划直纹曲面是可展曲面。本文利用包络面来刻划直纹曲面是可展曲面。
设C:???(u)(u1?u?u2)是直纹曲面S上的一条准线，即C与所有直母线相交，设e(u)是过P(?(u))点的直母线上的非零矢量，则直纹曲面S的参数方程是
S:r??(u)?ve(u) （1） 其中u1?u?u2，???v???，u线是与准线C平行的曲线，v线是值母线。
特别地，当?(u)??0是常矢时
S:r??0?ve(u) （2） 是锥面，
S:r??(u)?ve0 （3）
是柱面，其中e(u)?e0是常矢。
定义1 若直纹曲面（1）式沿每一条直母线只有一个切平面，即对一切的v值，
法线方向上的矢量N?ru?rv彼此平行，即对v1?v2有：
N(u,v1)?N(u,v2)?0 （4） 则称直纹曲面（1）式是可展曲面。
定理1 直纹曲面
S:r??(u)?ve(u)
是可展曲面，其充要条件是：
(?(u),e(u),e(u))?0 （5）
1
''定理2 直纹曲面
S:r??(u)?ve(u)
是可展曲面，其充要条件是：或者S是柱面，或者S是锥面，或者S是一条曲线的切线曲面。
定理3 直纹曲面
S:r??(u)?ve(u)
是可展的，其充要条件是：S上任意一点的Gasuu曲率都为零，即
K(u,v)?0 （6） 定理4 直纹曲面
S:r??(u)?ve(u)
是可展的，其充要条件是：它上面的直母线（v线）是曲率线。
2
单参数平面族的包络面 给定单参数?的平面族：
??:n(?)?r?p(?)?0 （7）并且n(?)?n(?)?0（否则n(?)具有定向，此平面族变为平行平面束）。 定义2 给定单参数????，如果有一个曲面S满足：
（1）S上任一点P都是????中某个平面??上的点 （2）在P点，??是S上的切平面，即N?r??rv//n(?) 则称单参数平面族????的包络面为S
定义3 给定单参数平面族（7）式，取一个固定平面??:n(?)?r?p(?)?0，再
取邻近的平面?????:n(????)?r?p(????)?0 它们的交线L????在???0时的极限记为L?，即
?????????L?????L?（???0）
'则称L?为单参数平面族????在??上的特征线
定理5 给定单参数平面族（7）式，则它的特征线方程是：
??n(?)?r?p(?)?0 L?:?''??n(?)?r?p(?)?0 （8）
2
其中n(?)?n(?)是L?的方向矢量
定理6 直纹曲面S:r(u,v)??(u)?ve(u)是可展曲面，其充要条件是：沿准线
'C:v?0,r??(u)，S是它的切平面族的包络面
证明 “?”设直纹曲面S可展，则
(?'(u),e(u),e'(u))?0
因为''ru??(u)?ve(u),rv?e(u) 所以曲面S上任一点P(u,v)的法矢量为：
N(u,v)?ru?rv??''(u)?e(u)?ve(u)?e(u)
曲面S上任一点的切平面方程是：
N(u,v)??r1?r(u,v)??0
沿准线C:y?0，得曲面S的切平面方程是： ?'?:????(u)?e(u)?????r1??(u)??0 现在求切平面族??u?的包络面，特征线Lu的方程是：
????'(u)?e(u)??? ??????r1??(u)?0??????''?'''?e??e?'????r1??(u)????e?(??)?0即
????'?e????r??(u)??0Lu?????1??''????e??'?e'?? ?????r1??(u)?0又平面?u的法矢量为：
n(u)??'(u)?e(u),n'(u)??''?e??'?e'
再由（9）式得特征线Lu的方向矢量为：
'n(u)?n(u)??'???''''??(u)?e(u)???????e???e???
?(?',e,e)?''?(?',e,?'')e?(?',e,e')?'?(?',e,?')e'
3
（9） 10） 11） （ （???(e(u),?(u),?(u))e(u)//e(u). （12）
由（11）式知，r1??(u)是包络面的准线，即原准线C就是包络面的准线，再由（12）式知，包络面的方程是： S包:r??(u)?ve(u) 所以S包?S
“?”沿准线C，S是切平面族??u?的包络面，由定理6知，S是可展曲面。 例1 已知曲面的参数方程为 S:r(u,v)??cosu?v,sinu,v?
证明：（1）S是可展曲面；(2) 沿准线C:v?0，S是它的切平面族的包络面。 证明 （1）将曲面写成直纹曲面
S:r(u,v)??cosu,sinu,0??v??1,0,1???(u)?ve （13）
则S是柱面，显然柱面是可展曲面，它的一般方程是
S:(x?z)2?y2?1 （14） （3）因为
?ru????sinu,cosu,0?,
rv????1,0,1?,
??N(u,v)?ru?rv??cosu,sinu,cosu?,
所以沿曲线C:v?0,即沿圆C:r??cosu,sinu,0?,曲面S的切平面的方程是：
cosu(x?cosu)?sinu(y?sinu)?cosu(z?0)?0,
?即 ?u:xcosu?ysiny?zcosu?1. （15） 单参数切平面族??u?的特征线的方程是：
?(x?z)cosu?ysinu?1,Lu:? （16）
?(x?z)sinu?ycosu?0.?上两式两边分别平方再相加得包络面的一般方程是：
S包:(x?z)?y22?1. （17）
这正是曲面S的一般方程.又因为平面?u的法矢量是:
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?n(u)??cosu,sinu,cosu?,n?(u)???sinu,cosu,?sinu?,
?所以特征线Lu的方向矢量是：
?n(u)?n?(u)???1,0,1?. （18）
?因Lu的方向矢量是常矢，所以??u?的包络面是柱面.另外，还可以将该柱面写成其它的参数方程.
作过原点且以??1,0,1?为法矢量的平面?，即
?:x?z?0. （19）
由（16）式和（19）式求出新准线的方程：
x?12cosu,y?sinu,z?12 cosu. （20）
所以包络面的参数方程是：
11?1??1?S包:r??cosu,sinu,cosu??v??1,0,1???cosu?v,sinu,cosu?v? (21)
22?2??2??消去参数u和v得包络面的一般方程：
S包:(x?z)?y22?1. (22)
这正是曲面S的一般方程。
例2 证明正螺面S:r(u,v)??ucosv,usinv,av?是不可展曲面 证法1 将S写成直纹曲面的方程
S:?r??0,0,av??u?cosv,sinv,0???(v)?ue(v),
?????u线是直母线，因为??(v)??0,0,a?,
e?(v)???sinv,cosv,0?,
????00sinvcosva0?a?0 （23） 0(??(v),e(v),e?(v))?cosv?sinv所以由定理1知，S不是可展曲面. 证法2 因为??du2?(a2?u2)dv2,????而S上任一点的Gauss曲率为：
K?LN?MEG?F222aa?u22dudv.
??a2222(a?u)?0, (24)
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直纹曲面是可展曲面的一个充要条件
