分类讨论
Ⅰ、专题精讲：
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
分类的原则：（ 1）分类中的每一部分是相互独立的； （ 2）一次分类按一个标准； （ 3）分类讨论应逐级进行．Ⅱ、典型例题剖析
【例 1】如图 3－ 2－ 1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线 AB 和双曲线．直线 AB 与
双曲线的一个交点为点 C， CD ⊥ x 轴于点 D ，OD ＝ 2OB ＝4OA＝ 4．求一次函数和反比例函数的解析式．
解：由已知 OD＝ 2OB＝ 4OA＝4，
得 A（ 0，－ 1）， B（－ 2， 0），D （－ 4， 0）．设一次函数解析式为 y＝ kx＋b．
点 A，B 在一次函数图象上， ∴
b
1,
2k b 0,
即 k
b
1 2 1.
,
则一次函数解析式是
y
1
x 1. 2
点 C 在一次函数图象上，当 设反比例函数解析式为
x
4 时， y 1 ，即 C（－ 4， 1）．
y
m x
． 1
点 C 在反比例函数图象上，则
m
， m＝－ 4． 4
故反比例函数解析式是：
y
4 ． x
点拨： 解决本题的关键是确定 A 、B 、C、 D 的坐标。
【例 2】如图 3－2－ 2 所示，如图，在平面直角坐标系中，点 与 x 轴交于 A、 B 两点，过点 A 作直线 l 与 x 轴负方向相交成 D.
O1 的坐标为（－ 4， 0），以点 O1 为圆心， 8 为半径的圆
60°角。以点 O2（ 13， 5）为圆心的圆与 x 轴相切于点
（ 1）求直线 l 的解析式；
（ 2）将⊙ O2 以每秒 1 个单位的速度沿 直线 l 也恰好与⊙ O2 第一次相切，求直线
x 轴向左平移，同时直线 l 平移的速度；
l 沿 x 轴向右平移，当⊙ O2 第一次与⊙ O2 相切时，
（ 3）将⊙ O2 沿 x 轴向右平移，在平移的过程中与x
轴相切于点 E，EG 为⊙ O2 的直径，过点
A 作⊙O2的切
线，切⊙ O2 于另一点 F，连结 A O 2、FG，那么 FG·A O 2 的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值； 如果变化，求其变化范围。
解（ 1）直线 l 经过点 A （－ 12， 0），与 y 轴交于点（ 0， －12 3 ）， 设解析式为 y＝ kx ＋ b，则 b＝ －12 3 ， k＝ － 3 ， 所以直线 l 的解析式为 y＝－ 3x－12
3 .
（ 2）可求得⊙ O2 第一次与⊙ O1 相切时，向左平移了 5 秒（ 5 个单位）如图所示。
55
在 5 秒内直线 l 平移的距离计算： 8＋12－ ＝ 30－ 3 ，
3
3
所以直线 l 平移的速度为每秒（
6－
3
3 ）个单位。
（ 3）提示：证明 Rt △ EFG∽Rt△ AE O 2 1
FG＝ EG
（其中
＝ ）
于是可得： O2 E AO 2 O2E 2 EG 所以 FG·A O ＝ 1 2 ，即其值不变。
2
EG
2
点拨 ：因为⊙ O2 不断移动的同时，直线 【例 3】如图，在矩形
l 也在进行着移动，而圆与圆的位置关系有：相离 (外离，内含 )，相交、相切 (外
切、内切〕，直线和圆的位置关系有：相交、相切、相离，所以这样以来，我们在分析过程中不能忽略所有的可能情况．
ABCD 中， AB=3 ， BC=2 ，点 A 的坐标为 (1， 0)，以 CD 为直径，在矩形 ABCD 内作半圆，点
M 为圆心．设过 A 、B 两点抛物线的解析式为 (1)求过 A、 C 两点直线的解析式；
y=ax 2+bx+c ，顶点为点 N．
(2)当点 N 在半圆 M 内时，求 a 的取值范围； 似时，求点 N 的坐标．
(3) 过点 A 作⊙ M 的切线交 BC 于点 F， E 为切点，当以点 A、 F,B 为顶点的三角形与以
C、 N、 M 为顶点的三角形相
解： (1)过点 A 、 c 直线的解析式为
y=
2
x－
2
3 3
(2)抛物线 y=ax－ 5x+4a ．∴顶点 N 的坐标为 (－
2
5
，－ 2
9
a)．
由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点 又点 N 在半圆内，
1
4
M 且与 CD 垂直的直线上，
9
2
2 4 a ＜ 2，解这个不等式，得－
(3)设 EF=x ，则 CF=x ，BF=2 － x
＜－
9
8 ＜ a＜－ 9 ．
在 Rt△ABF 中，由勾股定理得 x= ， BF= 88
97
【例 4】在平面直角坐标系内
出的坐标系中把所有这样的点 法)
,已知点 A(2,1),O 为坐标原点 .请你在坐标轴上确定点 P,使得 AOP 成为等腰三角形 .在给
P 都找出来 ,画上实心点 ,并在旁边标上 P1,P2,?? ,Pk,(有 k 个就标到 PK 为止 ,不必写出画
解：以 A 为圆心， OA 为半径作圆交坐标轴得
P (4,0)
1
和 P2 (0,2) ；
以 O 为圆心， OA 为半径作圆交坐标轴得
P ( 5,0) ， P4( 5,0) ， P5 (0, 5) 和 P6 (0, 5) ；作 OA 的垂直平分线
3
55 ,0)交坐标轴得 P7 ( 4 和 P8 (0, ) 。
2
点拨： 应分三种情况：① OA=OP 时；② OP=P 时；③ OA=PA 时，再找出这三种情况中所有符合条件的 P 点．
Ⅲ、同步跟踪配套试题
（ 60 分 45 分钟）
3 分，共 15 分）
B． 650， 650
b
( )
一、选择题（每题
A ． 500 ， 80o A．5 或－ 1 A ． 5cm A．300 A．14
1．若等腰三角形的一个内角为 2．若 | a | 3,| b | 2,且 a b, 则 a
50＼则其他两个内角为（
）
C． 500 ，650
D． 500， 800 或 650， 650
B．－5或 1;
B.3cm
C．5或 1 D．－5或－1
3．等腰三角形的一边长为
3cm，周长是 13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（
C． 5cm 或 3cm
C． 1500
D．不确定
）
4．若⊙ O 的弦 AB 所对的圆心角∠ AOB=60 °，则弦
B、600
D ． 300 或 1500 D.－6 或 14
AB 所对的圆周角的度数为（
）
5．一次函数 y=kx+b ，当－ 3≤ x≤ l 时，对应的 y 值为 l≤ y≤9， 则 kb 值为（
B．－6 C．－4 或 21
3 分，共 15 分）
y
）
二、填空题（每题
6．已知 | x | 3,| y | 2,且 xy 0, 则 x 8．矩形一个角的平分线分矩形一边为
_______.
7．已知⊙ O 的半径为 5cm，AB 、CD 是⊙ O 的弦，且 AB=8cm ，CD=6cm ，AB ∥ CD，则 AB 与 CD 之间的距离为 __________.
1cm 和 3 cm 两部分，则这个矩形的面积为
__________.
9．已知⊙ O1 和⊙ O2 相切于点 P，半径分别为 1cm 和 3cm．则⊙ O1 和⊙ O2 的圆心距为 ________. 10 若 a、 b 在互为倒数， b、 c 互为相反数， m 的绝对值为
1，则
ab
m
(b c)m
m2 的值是 ______.
三、解答题（每题
10 分，共 30 分）
11 已知 y=kx ＋ 3 与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式．
12 解关于 x 的方程 (a
2) x b 1．
13 已知：如图 3－ 2－ 8 所示，直线 l 切⊙ O 于点 C，AD 为⊙ O 的任意一条直径，点
在直线 l 上，且∠ BAC= ∠ CA D(A D 与 不在一条直线上 )，试判断四边形
B
为怎样的特殊四边形？
2024中考数学专题复习分类讨论
