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高中数学竞赛辅导第二讲 映射及映射法
知识、方法、技能
1．映射的定义
设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f:A?B. （1）映射是特殊的对应，映射中的集合A，B可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A到B的映射与从B到A的映射是截然不同的.
（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.
（3）映射包括集合A和集合B，以及集合A到B的对应法则f，三者缺一不可.
（4）对于一个从集合A到集合B的映射来说，A中的每一个元素必有惟一的，但B中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.
2．一一映射 一般地，设A、B是两个集合，f:A?B.是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A到B上的一一映射.
3．逆映射
如果f是A与B之间的一一对应，那么可得B到A的一个映射g：任给b?B，规定
g(b)?a，其中a是b在f下的原象，称这个映射g是f的逆映射，并将g记为f—1.
显然有（f1）1= f，即
——
如果f是A与B之间的一一对应，则f1是B与A之间的一一对应，并且f1的逆映射是f.
事实上，f1是B到A的映射，对于B中的不同元素b1和b2，由于它们在f下的原象不
——
同，所以b1和b2在f1下的像不同，所以f1是1－1的.
任给a?A,设f(a)?b，则f—1
——
—
?1(b)?a.这说明A中每个元素a在f—1都有原象.因此，f
是映射上的.
———
这样即得f1是B到A上的1－1映射，即f1是B与A之间一一对应.从而f1有逆映射
h:A?B.由于任给a?A,设h(a)?b，其中b是a在f—1下的原象，即f—1(b)=a，所以，
—1
f(a)=b，从而h(a)?b?f(a),得h?f，这即是f
的逆映射是f.
赛题精讲
Ⅰ映射
关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题.
例1：设集合M?{x|0?x?11,x?Z},集合F?{(a,b,c,d)|a,b,c,d?M},映射f：F→Z.使得
(a,b,c,d)?ab?cd.已知(u,v,x,y)?39,(u,y,x,v)?66,求x,y,u,v的值.
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【思路分析】应从(a,b,c,d)?ab?cd入手，列方程组来解之. 【略解】由f的定义和已知数据，得
f?uv?xy?39, ??uy?xv?66(u,v,x,y?M).将两式相加，相减并分别分解因式，得
(y?v)(u?x)?105,(y?v)(u?x)?27.
显然，u?x?0,y?v?0,在x,y,u,v?{x|0?x?11,x?Z}的条件下，0?u?v?11,
105[]?1?y?v?22,即10?y?v?22,但(y?v)|105,可见(y?v)1?15,(y?v)2?21, 11对应可知(u?x)1?7,(u?x)2?5.
27]?1?u?x?22知,3?u?x?22又有(u?x)1?3,(u?x)2?9. 11对应地，(y?v)1?9,(y?v)2?3.于是有以下两种可能：
同理，由0?y?v?11,[?y?x?15,?y?v?21,??（Ⅰ）?u?x?7, （Ⅱ）?u?x?5,
??u?x?9,??u?x?9,???y?v?3;?y?v?3.由（Ⅰ）解出x=1，y=9，u=8，v=6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M中元素的范
围.因此，（Ⅱ）无解.
【评述】在解此类问题时，估计y?v,u?x,y?v,u?x的可能值是关键，其中，对它们的取值范围的讨论十分重要. 例2：已知集合A?{(x,y)|3yy??3}和集合{(x,y)|?0}.求一个A与B的一一对3xx应f，并写出其逆映射.
图Ⅰ－1－2－1
【略解】从已知集合A，B看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图Ⅰ－1－2－1）.
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集合A为直线y?3x和y?3x所夹角内点的集合，集合B则是第一、三象限内点3的集合.所要求的对应实际上可使A区域拓展成B区域，并要没有“折叠”与“漏洞”.先用极坐标表示集合A和B： A?{(?cos?,?sin?)|??0,??R,????}, 63? B?{(?cos?,?sin?)|??0,??R,0????2}.
令f(?cos?,?sin?)?(?cos?,?sin?),??3(??变，辐角之间是一次函数??3???6).在这个映射下，极径?没有改
?2，因而?和?之间是一一对应，其中??(??,),
63???(0,).所以，映射f是A与B的一一对应.
2 逆映射极易写，从略.
【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握. Ⅱ映射法
应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题.
例3：设X={1，2，…，100}，对X的任一非空子集M，M中的最大数与最小数的和称为M的特征，记为m(M).求X的所有非空子集的特征的平均数. 【略解】设A?X,令f:A?A?,A??{101?a|a?A}?X.
??于是f:A?A?是X的非空子集的全体（子集组成的集），Y到X自身的满射，记X的非空子集为A1，A2，…，An（其中n=2100－1），则特征的平均数为
1n1nm(Ai)?(m(Ai)?m(Ai?)). ??ni?12ni?1由于A中的最大数与A′中的最小数的和为101，A中最小数与A′中的最大数的和也为101，故m(Ai)m(Ai?)?202,从而特征平均数为
1?202?n?101. 2n如果A，B都是有限集合，它们的元素个数分别记为card(A),card(B).对于映射f:A?B来说，如果f是单射，则有card(A)?card(B)；如果f是满射，则有card(A)?card(B)；如果f是双射，则有card(A)?card(B).这在计算集合A的元素的个数时，有着重要的应用.即当card(A)比较难求时，我们就找另一个集合B，建立一一对应f:A?B，把B的个数数清，就有card(A)?card(B).这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例. 例4：把△ABC的各边n等分，过各分点分别作 各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平
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行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边 形的个数.
【略解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性， 先考虑边不行于BC的小平行四边形.把AB边和 AC边各延长一等分，分别到B′，C′，连接 B′C′.将A′B′的n条平行线分别延长，与B′C′相交，连同B′，C′共有n+2个分点，从B′至C′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B′C′于i，j，k，l.记
A={边不平行于BC的小平行四边形}， B?{(i,j,k,l)|1?i?j?k?l?n?2}.
把小平行四边形的四条边延长且交B?C?边于四点的过程定义为一个映射：f:A?B. 下面我们证明f是A与B的一一对应，事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于B?C?的四点亦不全同.所以，四点组(i,j,k,l)亦不相同，从而f是A到B的1－1的映射.
任给一个四点组(i,j,k,l),1?i?j?k?l?n?2，过i，j点作AB的平行线，过k，l作AC的平行线，必交出一个边不平行于BC的小平行四边形，所以，映射f是A到B的满射. 总之f是A与B的一一对应，于是有card(A)?card(B)?Cn?2.
加上边不平行于AB和AC的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是3Cn?2. 例5：在一个6×6的棋盘上，已经摆好了一些1×2的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相邻的格子，证明：如果还有14个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌. 【思路分析】还有14个空格，说明已经摆好了 11块骨牌，如果已经摆好的骨牌是12块，
图Ⅰ－1－2－3所示的摆法就说明不能再放入骨牌. 所以，有14个空格这一条件是完全必要的.我们 要证明当还有14个空格时，能再放入一个骨牌， 只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种
情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正
方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很有趣的结论，从而也就证明了我们的命题. 【略解】我们考虑下面5×6个方格中的空.
如果棋盘第一行（即最上方的一行）中的空格数多于3个时，则必有两空格相邻，这时问题就得到解决.
现设第一行中的空格数最多是3个，则有card(X)?14?3?11，另一方面全部的骨牌
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数为11，即card(Y)?11.所以必有card(X)?card(Y),事实上这是一个一一映射，这时，将发生一个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入一个骨牌.
【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见.
当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习.
例6：设N={1，2，3，…}，论证是否存一个函数f:N?N使得f(1)?2，f(f(n))?f(n)?n对一切n?N成立，f(n)?f(n?1)格，即除去第一行后的方格中的空格.对每一个这样的空格，考察它上方的与之相邻的方格中的情况.
（1）如果上方的这个方格是空格，则问题得到解决. （2）如果上方的这个方格被骨牌所占，这又有三种情况.
（i）骨牌是横放的，且与之相邻的下方的另一个方格也是空格，则这时有两空格相邻，即问
题得到解决；
（ii）骨牌是横放的，与之相邻的下方的另一个方格不是空格，即被骨牌所覆盖； （iii）骨牌是竖放的.
现在假设仅发生（2）中的（ii）和（iii）时，我们记X为下面5×6个方格中的空格集合，Y为上面5×6个方格中的骨牌集合，作映射?:X?Y，由于每个空格（X中的）上方都有骨牌（Y中的），且不同的空格对应于不同的骨牌.所以，这个映射是单射，于是有
card(X)?card(Y)，对一切n?N成立.
【解法1】存在，首先有一条链. 1→2→3→5→8→13→21→… ① 链上每一个数n的后继是f(n)，f满足
f(f(n))?f(n)?n ②
即每个数是它产面两个数的和，这种链称为f链. 对于①中的数m>n，由①递增易知有
f(m)?f(n)?m?n ③
我们证明自然数集N可以分析为若干条f链，并且对任意自然数m>n，③成立（从而
f(n?1)?f(n)），并且每两条链无公共元素）.方法是用归纳法构造链（参见单壿著《数学
竞赛研究教程》江苏教育出版社）
设已有若干条f链，满足③，而k+1是第一个不在已有链中出现的数，定义
f(k?1)?f(k)?1 ④
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