由（**）-（*）得：
dz??exz2 dxdzx??edx 2z1??ex?c z变量分离得：
两边同时积分：?即：z?1 xe?c1 xc?e故原方程的解为 y?ex?（2）y??y2?2ysinx?cosx?sin2x
解：原方程可化为：y???y2?2ysinx?cosx?sin2x
由观察得，它的一个特解为y?sinx，设它的任意一个解为y?sinx?z，故
11 ?x?c即z?zx?c变量分离再两边同时积分得：
故原方程的解为y?sinx?1 x?c（3）x2y??x2y2?xy?1
11y?2 xx解：原方程可化为：y??y2?11由观察得到，它的一个特解为y??，设它的任一个解为y???z，故
xxdz1??z?z2，该式是一个n?2的伯努利方程 dxx两边同除以z2得到：
1dz11????1
xzz2dx1111即：z??1，令?u，
zdxxzd则：
du1?u?1，根据一阶非齐线性方程的求解公式得： dxx1
x(c?en|x|)故：z?因此：原方程的解为：xy?1?1
c?en|x|（4）4x2(y??y2)?1
1 4x2解：原方程可化为：y??y2?由观察得到，它的一个特解为y??11，设它的任一个解为y???z，于是 2x2xdz1??z?z2，这是n?2的伯努利方程 dxx两边同除以z2得到：
1dz11????1 2xzzdx111即：z???1
dxxzd?dx??dx1x则：?e(??ex?c)?x(c?en|x|)
z11即：z?1
x(c?en|x|)故：原方程的解为：2xy?2?1
c?en|x|（5）x2(y??y2)?2
2 2x解：原方程可化为：y???y2?11由观察得，它的一个特解为y??，故设它的任一个解为y???z，于是
xxdz2?z?z2，这是n?2的伯努利方程 dxx两边同除以z2得到：
1dz21???1 2zdxxz121即：z????1
dxxzd3??dx?dx11x则：?ex(?exdx?c)?2(?c)
zx3223x212x3?c?，即xy?故：原方程的解为：y?3. 3xx?cc?x（6）x2y??(xy?2)2?0
解：原方程可化为：y???y2?44y?2 xx11，设它的任一个解为y??z，于是 xx由观察得到它的一个特解为y?dz2?z?z2，这是n?2的伯努利方程 dxx两边同除以z2得到：
1dz21???1 2zdxxz121即：z????1
dxxzd??dx?dx11x3xx(?edx?c)?2(?c) 则：?ezx322??dx?dx11x3xx(?edx?c)?2(?c) 从而：?ezx32213x24x3?c故原方程的解为：y??3 ?xx?cx(x3?c)4x3?c即：xy? 3x(x?c)（7）y??(x?1)y2?(1?2x)y?x
解：由观察得到它的一个特解为y?1，故设它的任一个解为y?1?z，于是
dz??z?(x?1)z2，这是n=2的佰努利方程， dx两边同除以z2得：
1dz1???(x?1) 2zzdx11即：z??(1?x)
dxzd从而：
dx?dx1?e?(?(1?x)e?dx?c) z故原方程的解为：y?1?z?1?1 xx?ce习题
dy=x+y2通过点(0,0)的第三次近似解； dx 1 求方程
解： 取?0(x)?0
11518111 = x2?x?x?x
2201604400 2 求方程
dy=x-y2通过点(1,0)的第三次近似解； dx 解： 令?0(x)?0
x2x 则 ?1(x)?y0??(x?y0)dx??xdx?0012x 211518111 =x2?x?x?x
2201604400 3 题 求初值问题：
?dy??x2 R：x?1?1，y?1 ?dx??y(?1)?0的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；
b1)= M41 4解： 因为 M=max{x2?y2}=4 则h=min(a,
则解的存在区间为x?x0=x?(?1)=x?1? 令 ?0(X)=0 ;
x11?1(x)=y0+?(x2?0)dx=x3+;
33x013xx4x7111312=y0+?[x?(x?)]dx=x---+
3918634233?12x ?2(x)
又
?f(x,y)?2=L ?y
常微分方程第三版答案
